Porismatum Liber primus. 39

D G. eodem numero quo C deficit ab A B. hint arithmet ice proportionales' H ad D G. sicut C adA B. Quod erat ostendendum.

COROLL ARIVM.

Hinc apparet ß quatuor numeri fuerint in hac proportionalitate ■>& conu*rtend&fore eos tn eadem proportionalitate.

Nam si primus excedat secundum , eodem intervallo quo tertius excedit quartum ,& cönuer-tendo,quartus deficiet a tertio, eodem numero quo secundus deficit a primo. Rursus si primus de-ficiat a iecundo, eodem numero quo tertius a quarto,& convertendo quartus excedet tertium,eodem intervallo quo secundus primum.

PROPOSITIO V.

Si tres numeri arithmetice proportionales fuerint, summa extremorum seqhialis estduplo medi;'. Et si summa extremorum sit tequalis duplo medii, ipsi tres numeri arith-metice proportionales erunt.

Sint, tres numeri ABC in arithmetica proportionalste, vt A ad B ita B ad C. Dicog D 6 . extl ' emorum A C summam sequari duplo medij B. Etenim sumpto D atquali ipsi B. eritq ‘ * ex hypothesi in arithmetica proportionalitate vt A ad B itaD ad C. ( quia D idem

' est atque B ) Igitur per primam partem pr*ced. erit extremorum A C summa *qualis

summ* mediorum B D, leu duplo ipsius Bi Quod erat primo propositum.

Sit deinde summa ipsorum a c aequalis duplo ipsius b. Dico este in arithmetica proportionalitatevt a & b ita B ad c. Nam rursus sumpto D aequali b erit ex hypothesi, summa duorum ac sum-mae duorum bd squalis. Quare per secundam partem praecedentis erit in arithmetica medietateA ad B vt v ad C. hoc est a ad b. vt B ad c. Quod erat fecundo demonstrandum.

PROPOSITIO VI.

Si sint quotlibet numeri in arithmetica medietate continui, summa extremorimiaequalis est summae duorum quorumlibet ab extremis aequaliter distantium, atqueetiam duplo medij, si multitudo numerorum fuerit impar.

a-Ts-r-Tv e.-c. Sint quotlibet numeri ab c d e v in arithmetica medietate conti-7 x 3 nui, dico lummani extremorum af sequalem die iummse duo-

rum quorumlibet ab extremis stqualiter distantium , hoc est summae duorum b e , & summae duo-rumcD. Nam ob continuitatem arithmeticae proportionalitatis, est a ad B sicut E ad f. Igitur “'ex— q Ui) -utremorum a f summa, summ* mediorum b e aequalis est. Similiter quia est in arithmetica medicta- huius.teB ad c, vt d ad E. b erit summa extremorum b e aequalis summae mediorum c D. Quare cum eadem b quarta,summa duorum Be sit iam ostensa *qualis summ* duorum af. erit vtique summa duorum a f aequa- huius.lis tam summae duorum B e. quam summae duorum c d & sic de aliis si plures essent numeri propositi.

. D /^✓rvoT- tp r ' Quod si numeri a b cd e f g sint multitudine impari, osten-T T demus vt prius summam extremorum a g aequalem este

summ* duorum c f.. Quia vero ex hypothesi est c ad d vt d ad e. in medietate arithmetica , c sum- c — ^ma duorum C E aequalis est duplo medij D. Quamobrem ex omni parte constat propositum. huius:

PROPOSITIO VII.

Si fuerint quasuor numeri arithmetice proportionales, & permutando, arithme-tice proportionales erunt.

A 12. Bo * n rae ^i etate arithmetica primus A ad secundum b. sicut tertius Cad quartum D*q A j-j " Dico & permutando esse in eadem medietate a ad c vt b ad d. Quia enim est in hac me-dietate a ad b vt c ad D. erit summa extremorum a d *qualis summ* mediorum c b perprimam parcem quart* huius. Igitur per secundam partem eiusdem erit in eadem medietate primusa ad c fecundum, sicut tertius b ad d quartum. Quod demonstrandam erat.

PROPOSITIO VIII.

Omnis numerus pariter par, dimidium par habet. Etsi quis numerus diniidiumpai-habet , is est pariter par.

ää ii