* trigeß-ma tertia,

9.

a eciatta,huius.

c er oll.oflaute.huius.b vigeß-ma prima,9-

c oüma,huius.

&vigeß>naprima, o.b etfaita,

huius.

nuonäibtt-

i«s-l

b »ctaua,huius.

a oslau*huius. -.«r;b otfaua,huius.

40 Cl. Gasparis Bacheti

. EIIo a numerus pariter par, cuius dimidium b. Dico b esse parem. Si enim b esset impar, «ip-" 2 4’ se a esset pariter impar tantum, contra hypothesim. Non est ergo b impar, sed par. Quodl2 ‘ est propositum.

Deinde sit b par, dico a esse pariter parem, & patet ex definitione. Etenim a producitur ex bina-rio numero pari, in parem b. Quamobrem ex omni parte patet intentum.

COROLLARIVM.

Binarius metitur omnem numerum parem, per ipsius dimidium.

PROPOSITIO IX.

Omnis numerus pariter impar tantum, dimidium impar habet.

. Hsec conuertit trigesimam tertiam, p. Euclidis. Esto a numerus pariter impar tantum, cuiusn IO ‘ dimidium b. Dico B esse imparem. Nam si b esset par , “ ipse a esset pariter par. Atqui a sup-7 * ponitur pariter impar tantum. Igitur b non est par sed impar. Quod demonstrandum erat.

PROPOSITIO X.

Omnem numerum pariter parem quaternarius metitur. Et omnem numerum

quem quaternarius metitur , is pariter par est.

Esto a b numerus pariter par cuius dimidium sit c b numerus par per octauam

A.C...... B j iu j us- E t G. quaternarius. Dico primo G metiri ipsum a b. Nam sumpto

G 4. D 2. D binario, erit D ad G sicut sicut c B ad a b. & permutando erit D ad c b, sicutG ad A B. sed * D binarius metitur numerum parem cb. Igitur &g metitur ipsum a i. Quod de-monstrandum erat.

Deinde quaternarius G metiatur numerum a b. Dico a b esse pariter parem. Nam primo paremesse constat, b quia eum metitur G numerus par. Itaque ipsius ab dimidium esto cb. Tunc vtprius sumpto binario D.ostendemus esse d ad c b sicut g ad ab. Sed G metitur a b ex hypotesi. - Igitur& d metitur c b. Quamobrem ab habens dimidium par, est pariter par. Quod secundo erat osten-dendum.

PROPOSITIO XI.

Omnis numerus excedens binario aliquem pariter parem, est pariter impar tantum.Sit numerus ab excedens pariter parem c b. binario ac. Dico ab esse pari-

.b ter imparem tantum. Nam primo esse parem constat, «quia componitur ex

duobus paribus ac. c b. Deinde esse pariter imparem sic probatur. Nam si ponatur pariter par, b me-tietur eum quaternarius. Sed & idem quaternarius metitur pariter parem cb. Ergo quaternariusmetiens totum a b. & ablatum c b, metietur & reliquum binarium a c, maior minorem. Quod estimposti bile. Quamobrem ab non est pariter par. Est igitur pariter impar tantum. Qupd demon-strandum fuit.

PROPOSITIO XII.

Omnis numerus pariter impar tantum, excedet aliquem pariter parem binario.

Esto ab pariter impar tantum, dico eum excedere binario aliquem

A 'O. C.D .B p ar j ter parem. Quia enim a b est par, secetur bifariam in a c. c b.

- eruntque a c c b impares. Quare si ab ipso c b auferatur vnitas c D, reliquus D B erit par. Sit illiusduplus G b. b Igitur G b erit pariter par. Quum itaque vt totus a B ad totum c b , sic sit ablatus g bad ablatum d b. ( nam vtrobique est proportio dupla ) erit & reliquus a G ad reliquum c d in eademproportione dupla. Quate cum c d sit vnitas , erit a g binarius. Atque ideo cum gb sit ostensuspariter par, numerus a b superat pariter parem g b binario a g. Quod demonstrandum erat.

PROPOSITIO XIII.

Si numeruS pariter par, numero pariter impari tantum addatur, erit composituspariter impar ramum.

A r p Numerus pariter par ac. addatur pariter impari tantum cb. Dico compositum. . ex his a b esse pariter imparem tantum. Nam si a b ponatur pariter par, "metie-tur eum quaternarius. Sed idem quaternarius metitur pariter parem a c. Igitur metiens totum a b,& ablatum ac, metietur <X reliquum cb. quamobrem cb erit pariter par contra hypothesim.