Porismatum Liber secundus. 51

Y producto qui fit ex E in interuallum quo B F. C F superant A F.Sed eodem quö iuprä, ductu vten-tes inueniemus hoc intern alium continere ipsum B ter. F his. A semel. Quare V. superae Y. produ-cto ex E in B ter* in F. his, in A semel. Et loco producti ex E in A B semel, sumendo illi aequalemproductum * ex E in D bis , & in seipsutn semel fiet interuallum quo V superat Y «quale producto ^ u f^ s art ‘ex E in ipsos D B F bis , & quadrato ipsius E. Quoniam vero V X. simul, sequantur ipsis Y Z simul, b portatb. iunt in «quali differentia V Y. & Z X. Ergo inceruallum quo Z. superat X. «quatur duplo producti i. porifm.ex E in ipsos D B F. & quadrato ipsius E. Quamobrem cüm X ostensus sit quadratus, cuius lacuscomponitur ex ipsis B D F. patet ad ipsum X. addendo quadratum ipsius E. & duplum producti ex c .ipso E in latus ipsius X , c compositum Z este quadratum cuius latus constat ex ipsis D B F E seu ex a *D B & triplo ipsius E. Qjjare ex omni parte constat propositum. ■

PROPOSITIO XVIII.

Si planus sub duobus numeris contentus, ducatur in compositum ex ipsis, idem fietnumerus, atque si quadratus primi ducatur in secundum & quadratus secundi ducaturin primum.

D i2 gjg Sint duo numeri A B.& planus sub ipsis contentus C. quo ducto sigillarim in ipsos

2 ’ g * A. B. fiant D E. patet ergo d summam ipsorum D E. «qualem este producto ex C in dprima,z;*£ b' compositum ex ipsis A B. Hanc igitur summam dico «qualem este productis ex qua-drato ipsius A in B, & ex quadrato ipsius B in A. Nam sumptis tribus numeris A. BLcA rursus,'idem gignetur numerus cpiomodocunque & quouis ordine inter se ducantur. Quare e tertia,1.ducto A. in A & producto, nempe quadrato ipsius A ducto in B. fiet idem D, qui fit ducto A in B porifm.

& producto C in A. Eodem argumento probabitur numerum E fieri ducto quadrato ipsius B in A*Quamobrem constat propositum.

PROPOSITIO XIX.

Si numerus secetur in duas partes, cubus totius «qualis est cubi-s partium, & nume-ro qui sit ter ex toto numero in planum subpartibus comprehensum.

^ £ g Sit numerus AB sectus in duas partes A C. CB. Pie 6

p ’* V>*" TC M cubum totius AB «quari cubis partium A C. C B, &

numero qui fit ter ex toto A B in planum sub ipsi*

AC. CB comprehensum. Sumatur ÖM quadratus ipsius Ä B. / qui cüm sit «qualis qua-dratis ipsorum AC. CB& plano bis sub ipsis comprehenso, esto DG quadratus ipsius A C.

& GK quadratus ipsius C B. & KM. planus bis sub AC. C B contentüs. Itaque patet exdefinitione cubi ex toto A B in totum DM produci cubum ipsius AB. j Ergo idem cubusproducetur ductis singulis partibus ipsius AB in singulas ipsius DM. Ducto autem A C insuum quadratum DG. fit cubus ipsius AC. &T ducto C B in suum quadratum GK, sitcubus ipsius C B. Ergo iam habemus cubos partium. Restat vt ducamus AC in GK, & prima, zC B in DG, tum vtruinque A C. C B in KM. h Atqui ducere ipsos ac. cb in km. idemest atque ducere totum a Bin km. Quare cüm k m. sit planus bis subpartibus ac. cb contentus,patet ducere a C. cb in KM.idemeste atque ducere cotum a b in planum bis sub partibus compre-hensum. Rursus autem ducere a ein g K,&CBinD G,‘idem est atque ducere totum ab in pla-num sub partibus comprehensum. Quamobrem harum omnium multiplicationum producta simul,

( seu cubus totius ab ) «quantur cubis ipsorum ac. cb, & numero qui fit tet ex toto A 2 in pla-num sub ipsis A c. c B. comprehensum. Quod erat ostendendum.

f quarti i

».

? schalt

h prima,i.

i decimiedauä ,

huius.

PROPOSITIO XX.

Si numerus secetur ia duas partes, cubus totius «qualis est cubis partium, & nume-nicris qui fiunt ex qualibet parte in quadratum alterius ter.

A C B Sit numerus a b sectus in duas partes a c. c b. Dico cubum tocius ab «quari cubisipsorum a c. cb, & numeris qui fiunt ter ex quadrato ipsius a ein cb, & ex quadratoipsius c b in a c. Etenim ^ cubus totius a b «quatur cubis ipsorum a c. c b, & numero qui sit ter k decimaex ab in planum sub a c. c b. Sed numerus qui fit ex a b in planum sub a c. c b. ^«quaiur productis nona, bu-ex qualibet parte in quadratum alterius. Quare numerus qui fit ter ex a b in planum sub partibus, ius.sequatur eis qui fiunt ter ex qualibet parte in quadratum alterius. Igitur cubus totius ab «quatur 1 decimacubis partium & numeris qui fiunt ter ex qualibet parte in quadratum alterius. Quod demonstra»- J^.***»dum erat.