Porifmatum Liber tertius. 6i

T ad Y sicut K ad N vel L ad P. Quare cum rationis K ad N vel L ad P denominator sit B ex Con-structione ; erit idem B denominator rationis T ad Y ac proinde ex B in suum cubum T fiet Y.Quare Y erit quadratoquadratus ipsius B» similiter, si B ducatur rurlus in triangulum MNP. fietaliud simile quod cum triangulo ABC exhibebit duo triangula ita vt planus tub perpendiculis su-peret planum sub basibus numero quadratocubo. nimirum quadratocubo ipsius B. Et si rursus Bducatur in vltimum triangulum , fiet aliud quod cum ipso ABC duo exhibebit triangula, ita vtplanus sub perpendiculis superet planum sub basibus cubocubo ipsius B. Igitur ex omni parteconstat propositum«

PROPOSITIO XIII» Probi. 6.

D io.B 12.

H 244. K 44.

A iz.

E 20

C

G

L L40.

J*

io.

M 2928. N 528. P 2880.

Inuenirc duo triangula rectangula vt planus fbb perpendiculis cum plano subbasibus , faciat quadratum * uel cubum, vel quadratoquadratum , vel quadrato-dubum , vel cubocubum.

Exponatur triäng. rect. ABC. ita Vt P duplum basis C; fit minus perpen-diculo B. a Et ab ipsis ß D formetur aliud triangulum H K Lvt supra, cu- a

ius omnia latera diuidantur per B & b fiat h J™ AQ ico. K 44. R 144, triangulum simile EF G. Dico primo duo b f Y 'ma,

S 1200. N 528. T 1728. triangula ABC. EFG huiusmodi esse vt huius.

V 144061X 633 6. Y 26736. planus sub perpendiculis cum plano sub ba-sibus faciat quadrarum. Etenim ducto C inG fiat Q^cui addatur K productus ex B in F ex Constructione & fiat R. dico R esse quadratum.

Quia enim D est duplus ad C. & ex B in D bis fit L, idem L fiet ex B in quadruplum ipsius C. Quarecum diuidendo L per B fiat G. erit G quadruplus ipsius C. proinde Qjaroductus ex C in G aquabi-tur quadruplo quadrati ipsius C, seu quadrato ipsius D. ciim ergo K sit interuallum quo quadratusB superat qüadratum ex D rteiripe ipsum Q^addendo Q^&K summa R. erit quadratus ipsius B«

Quod erat propositum.

Dico secundo duo triangula ABC. H K L talia esse vt planus sub perpendiculis cum plano subbasibus faciat cubum. Nam ductö C in L fiat S.ductoque BiilK fiat N quo addito ad S. fiat T.

Dico T esse cubum. Etenim quia ex eodem C in G & in L.fiunt QS. & ex eodem B. in ipsos F K

fiunt K N. erit Qad S. vt G ad L. & erit K ad N. vt F ad K. sed est F ad K. vt G ad L.ob similitudi-

nem triangulorum, ergo est & Q^ad S vt K ad N. Quare & erunt antecedentes simul nempe R adconsequentes simul nempe ad T vt N. sed B est denominator rationis K ad N ex constructione, ergo& rationis R ad T. Quamobrem ex BinRfictT. vnde cum R sic quadratus ipsius B vt ostensumest, ericT cubus eiusdem B. Quod erae propositum.

Rursus fi B ducatur in triangulum H K L. ite fiat aliud simile MNP. Dico tertio duo triangulaA B C. M N P. huiusmodi esse vt planus sub perpendiculis cum plano sub basibus faciat qtiadra-toquadracum- Etenim si C. ducatur in P & fiat V, & B ducatur in N. & fiat X. quo addito ad V fiatY. Dico Y esse quadratoquadratum. Nam eodem quo prius argumento ostendemus esse T ad Y,sicut N ad X. Quare cum ex B in N fiat X, necesse est etiam ex ß in T fieri Y. ac proinde cum Tostensus sit cubus ipsius B, erit N quadratoquadratus eiusdem B. Similiter si B ducatur rursus intriangulum MNP. fiet aliud simile quod cum triangulo ABC. ostendetur esse hujusmodi vt pla-nus sub perpendiculis cum plano sub basibus faciat quadratocubum ipsius B. Ac demum si B duca-tur rursus in vltimum triangulum , fiet aliud, quod cum ipso A B C, ostendemus esse huiusmodi*vt planus sub perpendiculis cum plano sub basibus faciac cubocubum ipsius B. Igitur ex omni par-te constat propositum.

S C H O LI V Mi

1 n hoc dr iri procedenti problemate accidit vt inuenta duo triangula fi per eundem numerum vtraquemultiplicentur aut diuidantur , producant alia duo idem proflantia , quod vnico exemplo sufficiet pro-bare. Multiplicaper 3. triangula 13. 12. 5. est 20 j. 3 * r 20. fient alia duo, 39. 36.15:. (st 6 1. 11. 60.vbi videt planum sub bafibus 900. cum plano Jub perpendiculis 396. efficere quadratum 1296. diätere36. perpendiculo scilicet primi trianguli. Demonstratio facilis est,(st ideo eam tibi relinquo indagandami

PROPOSITIO XIV. Probi. 7 . w

Inuenirc tria triangula rectangula , Vt solidus sub hypotenusis, ad solidum fui>perpendiculis fe habeat vt quadratus ad quadratum.

oto