Arithmeticorum Liber VI. 339

laboriosi meditatione deteximus , fiubiuvgemus. Hocnempe demonfirandi genus mi-ros in arithmeticis suppeditabit progressus., fi area trianguli ejset quadratus darenturduo quadratoquadrati'quorum dtjserentta efiei quadratus : Vnde sequitur dari du»quadrata quorum & summa , & differentia ejjet quadratus. Datur itaque numeruscompositus ex quadrato dr duplo quadrati aqualis quadrato , ea conditione Vf qua-drati eum componentes faciant quadratum. Sed fi numerus quadratus componitur exfluadrato (fi duplo alterius quadrati eius latus similiter componitur ex quadrato (fiduplo quadrati Pt facillime possumus demonstrare.

Vnde concludetur latus illud esse summam laterum circa reütum trianguli re -ftanguli (fi vnum ex quadratis illud componentibus efficere basem & duplum qua-dratum aquari perpendiculo.

illud itaque triangulum reCtangulum conficietur a duobus quadratis quorumsumma & disserentiajerunt quadrati. Atifiiduo quadratiminores prob abunturpri-mis quadr aus primo suppofitis quorum tamsumma quam disserentia faciunt quadratu.£rg° sidentur duo quadrata quorum summa fi disserentia faciant quadr at um, dabiturin integris summa duorum quadratorum eiusdem natur# priore minor. Eodemratiocinio dabitur fi minor ifid inuenta per Piam prioris fi femper in infinitumminores inuenientur numeri in integris idem prsfiantes :Quod impossibile efi,quiadato numero quouis integro non possunt dari infiniti in integris illo minores. De-monfiraiionem integram fi fufius explicatam inserere margini vetat ipsius exiguitas *Hac ratione deprehendimus & demonfiratione confirmauimus nullum numerumtriangulumprater vnitatem aquari quadratoquadrato.

SCHOLIVM.

Eline patet, idem ostendi posse de quadr at oquadrato ipsus H quod, oflensumefl de quadr atoquadrato ip-ßus K. Quare verum efl in quolibet , triangulo rechnn gulo quadratum area duplicata additum quadrato-quadrato cuiustibet lateris circa retium efficere quadratu.Vt in dataihypothefi i44.cum quadratoquadrd-tis ipjorum 3. G 7 * 4 - puta cum 81. s 256. facit quadratos 223. s 400.sed s conditionts adietla necessitasper algebram fic demonßrabitur. Data area emußtbet trianguli reEtanguli suta 6.ponatur zmurn laterumcirca reEtum 1. N. erit alterum Is. Ut autem fit triangulum rationale oportet , vtsumma quadratorum jputa / £Q-+ rJjb aquetur quadrato , es omnia ducendo in 1 sf. fiet 1 fisfsg-F 144. aqualis quadrato.Vnde patet quadratoqmdratum cumflibet lateris circa retium adjcito quadrato area duplicata, debereconficere quadratum.

Porro hanc ipsam quuftionem traElans Franciscus Vieta Zetetico 16. libri quarti , duas alias eifra-figit conditiones. Prima est.Oportet vt area addendo aliquem quadratoquadratum , fiat quadratoqua-dratus, velvt ducendo aream in aliquem quadratum , s produtlum addendo alicui qttadratoquadrato,fiat quadratoquadratus. Et hac conditio, sufficiens quidem efi, vt demonfirat Ficta,sed anfit necessa-ria merito quis ambigat. Sane arbitros cum eius necessitatem demonstrare non poffietsummi vir tngenij.secundam excogitasse. Secunda conditio est. Oportet vt datus area numerus , fit cubus suo multatuslatere, vel vt idem per quadratum aliquem multiplicatus, fit cubus suo multatus latere. Et hac con-ditio non solum sufficiens efi, vt ostendit V ieta, sed etiam neceffiaria vt demonflrabimus , ne tanti viricommentum labare videatur. Quamuis tutius fit hanc conditionem ita proponere. Oportet vt areanumerus fit cubus suo multatus latere , latusvesuo multatum cubo. Vel vt eo per aliquem quadratummultiplicato veldiuiso , fiat cubus suo multatus latere, latusue suo multatum cubo. Huius autem reiratio est, qui a quodlibet triangulum reti angulum, potest concipisimile alteri triangulo, quod formatumsit ab vnitate, es ab alio quouis quadrato, cuius quadrati fi ponas latus 1 ET. fiet trianguli hypotenufa* *■ alterum laterum circa reElum 2 N. alterum 1 t vel 1 — J Qgprout 1 N.skpponitnr maior

vel rntnor vnitate. Quare fic area 1 C.— 1 N. vel 1 N ■ — t C. ita fi fingas triangulum ab 1. & modotradito tenta tertij portsmatum. Fient latera 3. 4. j. <tArea vero 6. cubus scilicet 8. suo multatus la-tere. At fi formes triangulum ab t. es fiet triangulum cuius area. esi latus - multatum fu0cubo

' J 3ro P°fi t0 vero quolibet alio triangulo, cum per quartam tertij porifmatum, neceffefit illudformaric uobus planis fimihous, hos planos sumens , es vtrumque per minor ern ipsorum figillattm diuidens,pont duo quotientes in eadem ratione, quorum minor erit vnitas , d quibussiformes triangulum , erit

V v ii)