Cl. Gasparis Bacheti.
’SCHOLIVM.
Ex his duabus propofitiombus duo elici possum Canones ad inueniendumsummam quoslibet fimihumpolygonorum , quorum latera in hac progressione disponantur,sedqutaipfi Canones ab ipfis propofitio-nibus non differunt , illos adscnbere superuacaneum duxi. Itaque haElemts de polygonorumprogressionedi tlum eflo ; Restat vt agamus de cuborum progressione, sed prius tres wfignes illorum proprietates de-monftr abimus , qua ad illorum progressionem aliquatenus fpettant.
PROPOSITIO V1GES1 MAT ERTl A.
Si disponantur omnes numeri impares ab vnitate, ex illorum ordinata & continuaadditione, quadrati omnes procreabuntur.
Putabit forte quispiam nos huic propositioni supersedere debuisse , quandoquidem ex polygono-rum definitione quadratis applicata, hoc ipsum manifestum fit. Verum quoniam antiqua definitioquadratorum ab Euclide prifcifque omnibus , & ab ipso Diophanto libro primo arithmeticorumtradita, diuerfa est, quatenus definiuntur quadrati, numeri qui fiunt ex alio quopiam in feiplummultiplicato,operaepretium visum est, ostendere vtramque definitionem iisdem numeris conuenire,ne vllasupersit hac de re dubitatio. Etenim posset aliquis iureambigere, an quadratus cuiconue-nit polygoni definitio , Lt qui fit ex imparium aggregatione, idem sit qui producitur latere in feip-fum ducto , quandoquidem neque triangulus neque pentagonus, nec hexagonus , neque alius quis-piam polygonus prater solum quadratum , respondet figura Geometricae angulorum & laterumaequalium, eiufdemque nominis.
Ai B c e D 7 Skh ab vnitate impares A B C D. dico ex eorum ordinata aggregatione fieriL * M 3 ’ ' omnes quadratos, etenim eum vnitas A. sit primus quadratus, dico fum-
^ 4*^ • mam duorum AB. esse fecundum quadratum seu quadratum binarij, &
'' summam trium ABC. esse quadratum ternarij, & summam quatuor nume-
rorum A B C D. esse quadratum quaternarij, & sic in infinitum , sumantur numeri ab vnitate se-cundum seriem naturalem , FGH. & sint eorum dupli LMN. patet igitur ipsos LMN. esse nu-meros pares ordinate dispositos , ac proinde si singulis addatur vnitas, neri omnes impares, hoc estL. cum vnitate sequatur ipsi B. atM. cum vnitate aequatur ipsiC.ac demum N.cum vnitate aequaturi8. i. poris D.& sic deinceps. Itaque 1 quoniam si quadrato vnitatis F. hoc est ipsi vnitati A,addatur duplumlateris illius & praeterea vnitas, fit quadratus proxime maior, hoc est quadratus binarij,eum E,sit du-plus ipsius F,&B, excedat L, vnitate,patet addito B.ad vnitatem A, fieri quadratum binarij. Rursusquia quadrato binarij G. addendo duplum ipsius G. & vnitatem , hoc est numerum C. fit quadra-tus rernarij, cum A G. simul faciant quadratum binarij vt ostensum est, facient tres ABC. simulquadratum ternarij. Et eodem argumento ostendetur quatuor AB CD. aequari quadrato quater-narij sic in infinitum. Igitur constat propositum.
COROLLARIVM.
Patet ergo quemlibet quadratum tot imparibus constare, quot vnitates continet latus quadrati,
PRO PO SIT 10 VIG ES IM AS& ART A.
In progressione arithmetica ab vnitate incipiente , &r per vnitatem crescente,cubus maximi aequatur quadrato maximi , & producto ex maximo in duplum ante-cedentium.
AB CD Sit vnitas A» & quotlibet numeri deinceps BCD. per vnitatis augmentumi. 2 . z. 4* crescentes V fitque E duplum ipsorum A B C, Dico cubum maximi D. stquariI2 ‘ quadrato ipsius D. & producto ex D. in E etenim productus ex D. in E.
rertiai. cum quadrato jpsius D. 4 aequatur producto ex D E. simul inD.at E D, simul aequantur quadrato• " ipsius D. per corollarium huius. Igitur productus ex E. in D. eum quadrato ex D. sequatur pro-st uctq ex quadrato ipsius D, in D. hoe est cubo ipsius D. Quod erat ostendendum.
PROPOSITIO VIGES IMAsslV 1NTA.
Quotlibet cuborum ab vnitate fecundum seriem naturalem dispositorum summaquadratus est, cuius latus componitur ex cuborum ipsorum lateribus simul additis.