Appendicis Liber ll.

r il 37

numero angulorum binario multato > & sub summa totiderii triangulorum*ab vnita*re j quot luuc ipsi numeri vno minus, residuum aequatur duplo polygonorum £singulis.

K. 8. H. 6 . G. a, F. 2 Si« in. hac progressione ABCDE.& numerus angulorum binario mui-

A2B4 Cö D8 E tatus esto L. Dico si numerus terminorum vnitate auctus ducatur in po- __

l z ' ' <0 * lyg°0.utn ipsius E. & a producto auferatur (olidus contentus sub qua-draco A. numero L. & summa totidem triangulorum ab vnitate, quotsunt ipsi A B C D. residuum aequari duplo polygonorum a singulie ABC DE. Etenim su-perponantur ipsis totidem illis squales ordine inuedo FGHK. Tunc ex demonstratione sep-tims huius patet binos A K. BH. CG. DF. arquari sigillatim ipsi E. quare si fumanturpolygoni harum summarum, & prsterea polygonus ipsius E. bis, horum aggregatum aequa- ^ ^bitur producto ex numero terminorum vnitate aucto in polygonum ipsius B. Atqui polygo-ni summae binorum A K. BH. CG. DF. 'aequantur polygonis omnium A K. BH. CG.

D F. leu duplo polygonorum ä singulis A B C D. & praeterea productis ex A. in K. ex B. in H. exC. in G. ex D. in F, ductis in L. Igitur productus ex numero terminorum vnitate aucto in polygo-K 8 H 8 G aF 1 num E. atquatur duplo polygonorum ä singulis A B C D E. & prbdu-

A. 2. B. a.*C "b?D. 8. E. 10. cti s ex A. in K. ex B. in H. ex C. in G. ex D. in F.ductis in L. sed hi pro- coro li.i.

' " ducti( ! quandoquidem A. continetur in F. semel, in G bis , in FI ter, huius.

’ ■ in K quater ) aequantur productis ex A. in D. semel, in C.bis , in B.

ter in A. quater , ac proinde per praecedentem iidem producti aequantur producto ex quadrato A,in summam tot triangulorum ab vnitate quot sunt, ipsi A B C D. Igitur productus ex numero ter-minorum vnitate aucto in polygonum JB..aequatur duplo polygonorum a singulis , & producto ex

quadraxo A, in summam tot triangulorum ab vnitate quot sunt ipsi A B C D* ducto in L. quare si

solidus sub quadrato A, numero L, & summa tot triangulorum ab vnitate quot sunt ipsi ABC D.auferatur ä producto e* numero terminorum vnitate aucto in polygonum E, residuum erit duplumpolygonorum 3 singulis ABC D E. quod demonstrare oportuit. '

PROPOSITIO FIGES IMA PRIM A.

Io hac progressione, qui fit ex polygono minimi in triangulum numeri termino-rum , adscito producto ex numero terminorum vnitate aucto in polygonum maximi,aequatur triplo polygonorum a singulis.

A 2 B 4 C 6 D 8, progressione A B C D. & qui sit ex polygono minimi A, in trian-

' * gulum numeri terminorum esto E. qui fit autem ex numero terminorum vni-

tate aucto in polygonum maximi esto F. dico aggregatum duorum E F. aequa-ri triplo polygonorum a singulis , etenim fumatur K, solidus sub quadrato

A, sub numero angulorum binario'multato , & sub summa tot triangulorum ab vnitate quot suntipsi ABC. igitur per t8. ambo E K. simul «equantur summae polygonorum ä singulis A B C D.fedper praecedentem » detracto K, ex F. manet duplum polygonorum a singulis. Igitur si ad F. multa-tum numero K. concipiamus addi ipsos E K. nempe summam polygonorum ä singulis; fiet vtiquesumma ipsorum EF. aequalis triplo polygonorum ä singulis, quod demonstrandum erat.

PROPOSITIO FIGESIMASECFNDA.

In hac progressione si productus ex polygono minimi in numerum terminorum}adfcifcat duplum polygoni maximi, &c aggregatum ducaturin numerum terminorumvnitate auctum, fiet fextuplum polygonorum a lingulis..

A2 B 4 c 6 D 8 Sint in hac progressione A B C D. & polygonus minimi esto E, numerusE * F4 G ? FI * vero terminorum F, & iUo vnitate maior esto G. ductoque EinF. fiatH.

^K 6 L %6 M 2 * Maximi vero polygonus esto L, cuius duplum M. quo addito ad FI. fiat

N <" X l/o ' P. ducto.que P.in G. fiat 0,dico 0.esse fextuplum polygonorum ä singu-3 p. 40. 4. lis, etenim ducto G ip ipsos H. M* fiant KN. citm ergo ex eodem G in P»

summam eorundem H M. fa£tus sit D- erit O.aeqyalts ambobus K N. Quia vero ex E in F,fit H. & ex , jnoris.d in G. fit K, est K. solidus sub tribus E F G. proinde * idem K, fiet ducto F in G. & producto inE, fed ex F. in G. fit duplum trianguli ipsius F. per octauam Diophanci. Ergo K, fit ducto E, in du-plum trianguli F,similiter N. factus est ex G, inM> duplurrt polygoni L. ergo summa duorum K N..seu O. componitur ex ductu E. in duplum trianguli ex F, & exductu G in duplum polygoni ex D.sed horum (emissis , nempe productus ex E, in triangulum ex F. vna cum producto ex G. in polygo-num ex D. aequatur triplo polygonorum a singulis per praecedentem. Igitur O, aequatur sexcuploeorundem polygonorum. Quod ostendendum susceperam.

E 50. F 460.K 120.