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wurde, und es befinde sich während des Umfahrensder Figur mit dem Stifte P dieser Stift in dem Ab-stande y von der Axe x, so ist auch die Entfernungdes Berührungspunktes des Rädchens R vom Cent-rum der Scheibe = y. Führt man den Stift P parallelzur ai-Axe um ein unendlich kleines Stück dx weiter,so bewirkt die Zahnstange, dass jeder Punkt am Um-fange des Zahngetriebes (oder eigentlich im Theil-kreise des Zahngetriebes) auch den Weg d x zurück-legt. Da die Scheibe mit dem Zahngetriebe fest undkoncentrisch verbunden ist, so muss der Bogen B derScheibe, welcher unter dem Berührungspunkte desRädchens R weggeht, sich zu dx genau so verhalten,wie y zu dem Halbmesser r des Zahngetriebes:

B : d x = y : r,

woraus folgt:

B — —. y d x.

Man ersieht hieraus, dass die Aufgabe der Scheibedarin besteht, die mit y veränderlichen Werthe von

-.ydx zu bestimmen.r

Stellen wir uns für einen Augenblick vor, anStelle des Rädchens R sei ein zeichnender Stift undumfahren wir mit der Spitze Pdie nach Art der Fig. 1 aaus Rechtecken zusammengesetzte Figur, so erkennenwir, dass der Zeichnenstift auf der Scheibe koncen-trische Kreisbögen von den Radien yy'y“. . . zeichnet,während P die konstanten Breiten bc = b‘c‘ = b“c,“ == . . .Aas durchläuft. Diese stufenförmig aufeinanderfolgenden Kreisbögen haben beziehungsweise dieLängen:

1 . 1 , . 1 .

— .y.Ax, — .y'.Ax, — .y'.Ax,. .

und nehmen wir jetzt statt der Rocht ecke von denendlichen Breiten A x solche von unendlich kleinerkonstanter Breite d x an, so verwandelt sich die Liniebcb'c'b“... in eine Kurve und die aus koncentri-schen Kreisbögen stufenförmig auf der Scheibe ge-zeichnete Linie geht gleichfalls in eine stetige krummeLinie über, deren unendlich kleinen Kreisbogentheile

die Längen i. ydx haben. Es ist nun aus dem Frü-

heren klar, dass die Bogenlänge — y d x das Massvom Flächeninhalte jenes Rechteckchens bedeutet, des-

sen Breite = dx und dessen Höhe == y ist. Summirtman alle die unendlich vielen kleinen Bogen, s„o mussdie Summe

das Mass der vom Stifte P umfahrenen krummlinigbegrenzten Fläche sein und da bekanntlich

den Flächenraum der vom Stifte P umfahrenen Flächevorstellt, so sieht man ein, dass das eigentlicheFlächen-ausmass erhalten wird, wenn man die auf der Scheibegezeichnete Summe

mit dem Halbmesser r des Zahngetriebes inultiplizirt.

Diese Summe zu bilden, ist nun der Zweck desRädchens R, welches den Zeichnenstift ersetzt. In-dem das Rädchen vermöge der Reibung sich dreht,beschreibt jeder Punkt seines Umfanges einen Weg,der der Summe der erwähnten Bögen gleich ist. IstR der Radius des Rädchens P, ferner R‘ der Radiusfür die Zeigerspitze Q und B‘ der von Q durchlaufene

Bogen, so verhält sich die Bogensumme -^Jydx zum

Bogen B‘ ebenso wie der Radius R zum Radius R 1und aus dieser Proportion folgt:

B ' = Wrß dX '

welche Grösse B‘ jene Länge ist, die von der Zeiger-spitze Q zurückgelegt wird, während der Fahrstift Pden Umfang der Figur durchläuft. Wird nun B‘ mit

Rr

der konstanten Zahl C = multiplizirt, so entsteht

das Resultat J"yd x als Ausdruck für den Flächen-inhalt der umfahrenen beliebig begrenzten Figur, folg-JRv

lieh ist C = -gj- jene konstante Rechteckbasis NM,die wir in Fig. 1 b kennen gelernt haben.

Es ist sonacb vollkommen ersichtlich geworden,dass die in ihren Hauptziigen beschriebene Maschinezur mechanischen Bestimmung der Flächeninhaltevon beliebigen ebenen Figuren geeignet sein wird.