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Der Ausdruck für E ist bekanntlich (H. I, § 15, S. 59):

„ _ (1 — e 5 sin 2 B) a - _

( 6 )

nehmen wir aber einfach K — 1, was einem mittleren Werthe entspricht, so wird

m

a

= sin — 4- Gl

a

cos —|-Gl

CD

wobei jedoch die Gl 5 und Gl i gerade für Europa verhältnismässig klein ausfallen. Hiermit ge-staltet sich die Anwendung der oben gegebenen strengen Ausdrücke für p 3 , q 3 , r 3 , p 4 , q i unddamit aber auch diejenige der entsprechenden p, q und r ganz bequem, indem zur Berechnung vonm:a und dm:clS kleine, von der geogr. Breite B unabhängige Hülfstäfelchen ausreichen, so langeS:a < 0,1 ist und nur 5-ziffrige Logarithmen in Anwendung kommen.

Die strengen Ausdrücke für p,, q , und r t sind jedoch unbequem; sie lassen sich indessenvereinfachen, wobei wir davon ausgehen, sie als Funktionen von /4 — ä = ö, L k — Li = l und

der Mittelbreite B = (B h + Bi), sowie von e 2 aufzufassen.*) Betrachten wir zunächst p, undsetzen zufolge (1):

sin T a sin T k

cos t +

so ist für e~ — 0, nach den früheren Angaben über den sphärisch berechneten Werth von p uP = cos l. Ist e 2 von Null verschieden, so giebt eine Taylor 'sehe Entwicklung mit Vernachlässi-gung von e 4 :

cos l -f-

Zur Entwicklung des Differentialquotienten von P reicht ein Näherungsausdruck für P aus.Indem wir immer wie bisher e und S:a als kleine Grössen 1. Ordnung ansehen, nehmen wir dem-gemäss

1 s 2

P = cos ^ ^ sin Tik sin T u + Gl i .

Nun werden wir weiterhin im § 6 Formeln zur Berechnung der kürzesten Linie zwischenzwei durch ihre geogr. Coordinaten gegebenen Punkten aufstellen, aus denen hervorgeht, dass fol-gende Beziehungen bestehen:

t = l sin B (1 + Gl 2 [ohne e 2 ] + Gl t )

S sin T — f, —(1 + GI 2 [ohne e 2 ] + Gl t )

( 8 )

cos T= f, (1 + Gl, [ohne c 2 ] +

(1 -|- Gl 2 [ohne c 2 ] -f- Gli),

S cos T = 4,

wobei mit geringer Abänderung gegen früher, weil t jetzt lediglich als kleiner Winkel auftritt, dieGrössen t, h, l, B und T so zu verstehen sind, dass:

t = T ki — Ta, ± 180° und bezw. T = ^ (Tn + T ik ± 180°),b = B k — Bi l — L k — Li B = | (Bi + Bk).

( 9 )

Ferner ist

W = }/l — e 2 sin 2 B .

*) Das Symbol b, welches in § 2 schon zur Bezeichnung der kleinen Halbaxe des Erdellipsoides benutzt wurde,aber in dieser Bedeutung ferner nicht gebraucht wird, stellt nach diesen Festsetzungen von nun ab eine Breitendifferenz vor.

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