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p G = — 2 b -f ^3 b — ^-r, sin B cos ßj sin 2 B + Gl 3q„ = l sin 2 7h cos B { secB k -f Gl 3

(4)

b l cos 3 B

o" sin B

§ 6. Bestimmung der kürzesten Entfernung und der geodätischen Azimute ans

geographischen Coordinaten.

Diese Aufgabe kann bei Lothab weichungsberechnungen mit Nutzen verwendet werden, um daseingangs § 3 erwähnte System von Näherungswerthen aus den Näherungswerthen der geographi-schen Coordinaten herzustellen. Wir knüpfen, um geeignete Formeln zu erlangen, an die Formelnan, welche G. F. Gauss in der 2. Abhandlung der „Untersuchungen über Gegenstände der höherenGeodäsie“ 1847 auf doppeltem Wege abgeleitet hat. Diese Formeln lauten nach Art. 23/25,S. 17/19 und übereinstimmend nach Art. 33, S. 29/30:

log t = log ZT + (3) S 2 + (4) C 2 + (7) T“ + Gl,

log b = log £ + (3) ,S’ 2 - (5) £ 2 + 3 (7) r 2 + 67,

log l = log 1 (6) £ 2 + (7) t 2 + Gl„

( 1 )

wobei gesetzt ist:

* = (l)SsinTtanB £ = (2) S cos T l = (l)Nsin Tsec B

a ( 1 —« 2 )

u w*

12 a 1 (1—e 2 )

(4) = ^ 2 TWr{ 5e2 + (4e 2 - 14 e 4 ) s 2 +5 e*s* } 8 = sin 7?

9«‘s 4 ) W

14 e 4 ) s

)(1 — 10e 2 s 2 )

Hierin sind die Coefficienten (1) bis (7) vollständige Ausdrücke, so dass die vernachlässigten Glieder4. Ordnung nur S:a als kleine Grösse 1. Ordnung, nicht aber zugleich e als solche voraussetzen.Die Bezeichnung der Grössen in den vorstehenden Formeln kann als dieselbe wie in den vorher-gehenden §§ aufgefasst werden, wiewohl nach Gauss’ Annahmen Unterschiede bestehen. Denn Gausszählt die Azimute südwestlich, die geogr. Längen westlich und setzt ausserdem B t = B + l A l>,Bk — B — 4 b , T ik — T + 1 1, T ki = T —4 1 ± 180°; b und t haben also die negativenWerthe der entsprechenden Grössen der vorhergehenden §§. Man bemerkt aber sofort, dass obigeFormeln richtig bleiben, wenn man gleichzeitig die Vorzeichen von sin T, cos T, l, b und t wechselt,d. h. die Azimute nordöstlich, die geogr. Längen östlich zählt und b — B k — Bi, t= Tu — T ik ±180°setzt.

Eliminirt man aus den Gliedern 2. Ordnung der Gleichungen (1) die Grössen S, £ und lmittelst der Relationen

£ = b (1 + Gl 2 ), l = l (1 + Gl 2 ) und

£ 2 . Pcos^B ¥ . Peoa 2 B

b 1 P cos

( 1 )'

(D