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Anmerkung über die Coefficienten in den Polygonwinkelgleichungen und in den

Laplace 'sehen Gleichungen.

Von der üblichen Ausgleichung der Dreiecksnetze her ist man daran gewöhnt, bei denWinkel- und Richtungsverbesserungen in den Winkelgleichungen der Dreiecke und Polygone gleichgrosse Coefficienten zu erblicken. Die Polygonwinkelgleichung (8) zeigt aber diese Coefficientenetwas ungleich; ausserdem treten daselbst noch Seitenverbesserungen auf, die sonst fehlen. Es ist-nun leicht nachzuweisen, dass bei Polygonen mit verhältnismässig grosser Fläche die Form von (8)lediglich als Folge strenger Entwickelung auftreten muss, und dass bei den gewöhnlichen Aus-gleichungen der Dreiecksnetze die einfache Form der Winkelgleichungen nur deshalb genügt, weildie Fläche der betreffenden Dreiecke und Polygone, abgesehen von ganz besonderen Netzbildungen,immer eine sehr kleine ist.

Um einen bestimmten Fall vor Augen zu haben, denken wir uns im Anschluss an (8) einSechseck, die Ecken mit 1, 2, 7, 8, 10, 9 beziffert, in einer Reihenfolge entgegengesetzt der Richtungdes Uhrzeigers, vergl. Fig. 1, S. 56. Für die Innenwinkel des Sechsecks hat man nun die Gleichung,wenn 2 ein Summenzeichen vorstellt:

2w = tvi -\-w 2 -\~w 1 -f-w 8 +w 10 = 4x180° -j- Excess. (11)

Die Differentiation giebt:

2 dw = d Excess. (12)

Rechter Hand steht das totale Differential des Excesses, welches sich aus der durch dieWinkeländerungen bedingten Polygonflächenänderung ergiebt. Da das Polygon durch die Winkelallein nicht definirt ist, wird man sich im allgemeinen die Fläche desselben als Funktion einer zurBestimmung des Polygones nothwendigen Anzahl Stücke denken: wir nehmen die Winkel w,, w 2 ,m>„ w a und sowie die Seiten S L2 , S 2 , 7 ,S W und S u ,, betrachten mithin w iB , sowie S SM und S 9A0 alsAbhängige.

Die Aenderungen, welche die Fläche durch die Aenderungen der Winkel und Seiten erfährt,lassen sich leicht ableiten, wenn man das Polygon in erster Annäherung als ein ebenes behandeltund sich der geometrischen Anschauung bedient. Wir beschränken uns auf die Darstellung desEinflusses der Winkeländerungen. Für diese findet sich aber durch einfache Betrachtungen fol-gender Satz:

Dreht sich ein Linienzug PiP k .... P m P» in P { um denWinkel v, so ist die beschriebene Fläche = Sl n .

Dieser Satz gilt auch dann noch, wenn P H sich während der Drehung auf der letzten SeiteP m P H etwas verschiebt, sobald diese Verschiebung nur eine differentiale ist.

Im Polygon 1.2.7.8.10.9 hat man, um auf (8) S. 61 zu kommen, bei Aenderung der Winkel w,,w 2 , Wt, w b und w 9 den Punkt 10. als Punkt P n zu nehmen und erhält die totale Flächenänderung,abgesehen vom Einfluss der Aenderungen der Seiten S u2 , S 2 . 7 , S 7 , B und S L „, gleich

dF = i S\. m dw 1 + i S\ M dw 2 + j Sl w dw 7 +1- Sl. w dw 6 + i Sh „ dw g , (13)

wobei die dw als Arcus zu verstehen sind. Aus (12) folgt nun mit Rücksicht auf die Näherungsformel