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Excess =
Fläche
in welcher q den mittleren Krümmungsradius des Erdellipsoides für das Polygon bezeichnet:
+ — ^r)^ 9 +^io=0.
(14)
Bringen wir hieran den jetzt noch willkürlich erscheinenden Divisor sin B w an, nehmenferner der Reihe nach zu Fig. 1, S. 56, passend als Punkte
1 2 7 8 10 9
Rauenberg Vogelsang Rugard Dietrichshagen Kiel Schwerin,
und setzen: dw x = v x — v 2 , div 2 = v 6 — dw 7 — v 16 — v u , dw a = v„ — v w , dw 0 — —« 19
sowie dw iq — V' Kiei—Schwerin T Kiel—Dietrichshagen V 21 i':io demjenigen Betrage des Winkels Wi o, welcheraus den Werthen zu berechnen sein würde, die für S M , <S 7 . 8 , S,.„ sowie to x , w 2 , w 7 , iv 8 und w 9aus den entsprechenden S' und T' der früheren §§ unmittelbar folgen, so muss die Gleichung (8)entstehen, bis auf die nicht berücksichtigten Glieder mit a, da und da. In der That fanden sichdie Coefficienten der v vollständig bestätigt.
Was die Laplace ’sehen Gleichungen anbelangt, so ist zunächst hervorzuheben, dass dieselben(abgesehen von den Lothabweichungsgliedem) die Winkelgleichungen der Polygone sind, welcheihre betreffenden Linienzüge mit dem Nordpole N bilden. Ist in dem Polygone, welches zu einemsolchen Linienzuge gehört, die Reihenfolge der Ecken von rechts nach links herum beispielsweise1.2.3.4.W; nehmen wir ferner zunächst die geogr. Längendifferenz (L 4 — L,) = L 1A als unverän-derlich an und definiren den Linienzug durch die Seiten S l3 und S 2 . 3 , sowie durch die Azimutebezw. Winkel 7\*, (TL—T 2 .,) und (T 3 . 4 — T 3 . 2 ), so folgt ganz ähnlich wie vorher, mit Vernach-lässigung der Seitenglieder, die Differentialformel
äT» = (l - dT x , + (l - ) (dT, 3 -rfT,,) + (l - m A -dT z .,) , (14*)
wobei man für q den mittleren Krümmungsradius des Erdellipsoides entlang dem Linienzuge 1.2.3.4zu nehmen hat.
Wächst nun L IA um dL iA , so entsteht bekanntlich (H. I, S. 296, (2)) noch eine weitereAenderung von T 4 . 3 um
dT i3 = dL Li sin ß 4 , (14f)
deren Betrag man für die Voraussetzung der Kugelgestalt der Erde auch leicht aus dem Flächen-zuwachs erklären kann, welchen das Polygon durch dL lA erfährt. Die totale Aenderung von dT i3ist gegeben durch die Summe der Ausdrücke (14*) und (14-J-). Dividirt man dann noch mit sin B . t ,so hat man die wesentlichsten Glieder der Laplace’schen Gleichung des Zuges 1.2.3.4 vor sich.
In der Laplace’schm Gleichung des Linienzuges 1.2.3.4 werden ausser den bisher betrach-teten Gliedern noch Glieder mit a 12 und u 2 . 3 , mit ^ und da, sowie mit dB\ — und 1, auftreten.Ohne dieselben völlig nachzuweisen, mögen einige Bemerkungen in Bezug hierauf, welche zu einerKontrolle führen, Platz finden.