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Aufgabe 9.
Gegeben ein Punkt, eine Ebene, zwei Kugeln.
VMM
Gegeben sind der Punkt a, die Ebene © und die beiden Kugeln um M und m.Man soll eine Kugel beschreiben, welche die beiden gegebenen Kugeln und diegegebene Ebene tangirt, und durch den Punkt « gebt.
Analysis. Soll die gesuchte Kugel S die beiden Kugeln um M und m berühren,so müssen nach dem vierten vorbereitenden Satze zur Aufgabe 6 die Berührungs-punkte potenzhaltend sein und zwar bei gleichartiger Berührung vom äusseren,bei ungleichartiger Berührung vom inneren Aehnlichkeitspunkte. Wir wollen hiereine gleichartige Berührung annchmen und die Berührungspunkte mit und nbezeichnen, d. h. A, t u und n liegen in gerader Linie und A ft . An ist gleichAC . AD, wo C und D Punkte der Centrale sind, deren Lage die Ansicht derobigen Figur sogleich ergiebt. Die gesuchte Kugel soll nun aber auch auf ihrerOberfläche den Punkt « haben. Man verbinde A und a, so muss Ka die Kugel-oberfläche von Ä noch in einem zweiten Punkte schneiden, welchen wir ß nen-nen wollen, so dass Art . Aß = A,m . An ist oder auch = AC . AD. Da dieLage der Punkte C, D und « bekannt ist, so ist die von ß leicht zu bestimmen.Man hat nur nöthig, durch et, C, D einen Kreis zu legen, so vtird A« denselbennoch in einem zweiten Punkte schneiden, welcher der Punkt ß ist. Die KugelÄ muss also auf ihrer Oberfläche die Punkte a, ß haben, die Kugeln um M und mberühren, eben so die Ebene 6. Jede Kugel aber, welche durch « und ß gehtund eine der Kugeln um M oder m berührt, muss aber nach dem vierten vor-bereitenden Satze zur Aufgabe 6 auch die andere Kugel berühren. Es kommtalso Alles nur darauf an, eine Kugel zu finden, welche durch die Punkte « und ßgeht, die Kugel um M oder m berührt und die Ebene © berührt. (Aufgabe 5, vierAuflösungen.)
Construction. Man sucht den äusseren oder inneren Aehnlichkeitspunktder Kugeln um M oder m, jeder Aehnlichkeitspunkt giebt gleich viel Auflösungen,welche auf analoge Weise durchgeführt werden. Wir wollen uns beispielsweisenur mit dem äusseren beschäftigen, den wir A nennen. Man lege nun durch diedrei Punkte C, D und rt einen Kreis, verlängere Act bis zum zweiten Durch-schnittspunkte ß mit diesem Kreise, so komntt es allein darauf an: Eine Kugel