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zu beschreiben, welche durch a und ß geht, die Ebene $ und eine der beidenKugeln um M oder in berührt. (Aufgabe 5, vier Auflösungen. Zwei Kugelnnämlich, welche von aussen und zwei, welche von innen die beiden gegebenenKugeln gleichartig berühren.) — Mit Hülfe des inneren Aehnlichkeitspunktes fin-det man ebenso vier Kugeln, deren jede die beiden gegebenen ungleichartig be-rührt. — Acht Auflösungen.

Aufgabe 10.

Eine Kugel zu beschreiben, welche durch einen gegebenen Punkt geht unddrei gegebene Kugeln berührt.

Analysis. Da die gesuchte Kugel die beiden Kugeln (f und 2) berührensoll, so müssen die Berührungspunkte potenzhaltend sein und zwar bei gleich-artiger Berührung vom äusseren, bei ungleichartiger Berührung vom inneren Aehn-Iichkeitspunkte. Wir wollen hier beispielsweise den äusseren AehnlichkeitspunktA betrachten. Da der Punkt a auf der Oberfläche der gesuchten Kugel liegen

soll, so muss, wenn man Art zieht, dasselbe die Oberfläche der gesuchten Kugel

noch in einem anderen Punkte ß treffen, so dass AC . AD = Aß . A/S, wo C

und D in der Centrale liegen und die aus der Figur ersichtliche Lage haben.

Eine Kugel aber, auf deren Oberfläche « und ß liegen, so dass a und ß potenz-haltende Punkte des äusseren Aehnlichkeitspunktes A der Kugeln (1 und 2)sind, hat nach dem vierten vorbereitenden Satze zur Aufgabe 6 die Eigenschaft,dass wenn sie die eine Kugel berührt, sie auch die andere Kugel berühren muss.Es kommt also nur darauf an: Eine Kugel zu beschreiben, welche zwei gege-bene Kugeln 3 und 1 oder 2 berührt und durch die beiden Punkte a und ß geht.(Aufgabe fi.)

Construction. Man suche den äusseren Aehnlichkeitspunkt A der Ku-geln 1 und 2, so findet man in der Centrale die Punkte C und D. Durch diePunkte C, D und « lege man einen Kreis, ziehe die Linie Aß, so wird dieselbeden obigen Kreis noch in einem anderen Punkte ß schneiden müssen. Man legejetzt durch die Punkte « und ß eine Kugel, welche die beiden Kugeln 3 und 1oder 2 berührt (nach Aufgabe 6). Man erhält vier Auflösungen, zwei Kugelnnämlich, welche die beiden gegebenen Kugeln 1 und 2 von aussen und 3 vonaussen oder von innen, ebenso zwei Kugeln, welche 1 und 2 von innen und 3

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