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von aussen oder von innen berühren. Der innere Aehnlichkeitspunkt von (1)und (2) würde auf analoge Weise vier andere Kugeln geben, welche alle Bedin-gungen der Aufgabe erfüllen, von denen jede aber die Kugeln 1 und 2 un-gleichartig berührt. Acht Auflösungen.

Aufgabe 11.

Eine Kugel zu beschreiben, welche vier gegebene Ebenen berührt.

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Zwei gerade Linien AA 1 und BB 1 , welche sich in C schneiden, theilen eineEbene in vier Räume, welche in der obigen Figur durch I, II, III und IV be-zeichnet worden sind. Zieht man nun in derselben Ebene eine gerade Linie AB,so kann dieselbe nur durch drei Räume hindurchgehen, nie durch den vierten,hier durch die Räume I, II und III. Legt man nun durch AC und BC Ebenen,so werden dieselben die Ebene ACB in den Linien AC und BC schneiden undden ganzen Raum in acht Abtheilungen theilen, von denen vier oberhalb derEbene ACB liegen, vier unterhalb. Den Durchschnitt der Ebenen durch ACund BC wollen wir mit SS 1 bezeichnen, wovon CS oberhalb von ACB, CS 1unterhalb liegt. Legt man nun durch Aß eine Ebene parallel mit CS, so wirddieselbe sechs der obigen Abtheilungen schneiden. Legt man aber, wie in derobigen Figur, diese Ebene durch AB so, dass sie SS 1 in einem Punkte S schnei-det, so wird sie sieben der gegebenen Abtheilungen schneiden, nie die achte,hier niemals die unterhalb ACB gelegene Abtheilung IY. Betrachten wir nunnäher die obige Figur, so finden wir, dass ausser den obigen sieben Abtheilun-gen noch das Tetraeder da ist, W'O alle vier Ebenen Vorkommen. Es wird daherim Allgemeinen acht Kugeln geben, welche alle vier Ebenen zugleich berühren,wovon die eine dem Tetraeder eingeschrieben ist, die übrigen sieben in den obenangegebenen sieben Abtheilungen des Raumes liegen.

Bezeichnen wir die Ebene des Papiers mit @ 1 , die Ebene SCA mit Sa, dieEbene SCB mit ®3, die Ebene SAB mit St; bezeichnen wir ferner die sechsmöglichen Durchschnitte mit ei, ea, eg, et, es und e6, so kann man leicht ange-ben, auf welche Weise die acht gesuchten Kugeln gefunden werden könneij.

Man muss bei der Auflösung nur gegenwärtig behalten, dass der geometrischeOrt für alle Punkte, welche von zwei gegebenen Ebenen gleichweit abstehen,