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diejenige Ebene ist, welche den Winkel der beiden gegebenen Ebenen halbirt.Die durch ei gelegte Ilalbirungsebene wollen wir durch Ei bezeichnen, die durche2 gelegte durch E> u. s. w. durch Es, Et, Es und Ke- Alle diese sechs Ebenen werdensich nun, wie leicht darzuthun ist, in demselben Punkte fi schneiden innerhalbdes Tetraeders; ausserdem werden sich je fünf in jeder der oben näher bezeich-neten sieben Abtheilungen des Raums schneiden in f2, t3 u. s. w. ss. Z. B. wirdder obere Raum II eingeschlossen von den Kanten ei, eg, e3, e4 und es.

Bei näherer Erwägung der obigen Betrachtungen kann man sieh leicht klarmachen, dass bei einem gegebenen Tetraeder die Halbirungsebeuen durch je dreiKanten, welche zii* einer Ecke zusammenstossen, sich in einer geraden Linieschneiden; dass ferner alle sechs llalbirungsebenen durch einen und densel-ben Punkt hindurchgehen.

Es ist ferner klar, dass, wenn vier Ebenen sich im Raume in der grösstenAnzahl von Linien schneiden, es acht Punkte giebt, deren jeder die Eigenschafthat, dass seine Entfernungen von allen vier gegebenen Ebenen gleich sind.

Aufgabe 12.

Eine Kugel zu beschreiben, welche drei Ebenen und eine gegebene Kugelberührt.

Die drei Ebenen heissen ®j, fe und @3, den Mittelpunkt der gegebenen Ku-gel wollen wir durch f bezeichnen und ihren Halbmesser durch r.

Mau construire drei Ebenen En Eg und E3, welche parallel mit den gege-benen laufen und in Beziehung auf den angenommenen Punkt I nach aussen umr von den drei ursprünglichen Ebenen @1, @2 und @3 resp. abstehen. Darauf löseman die Aufgabe: Eine Kugel zu beschreiben, welche die drei gegebenen Ebe-nen Ei, E-z und Ed berührt und durch den Punkt f geht nach Aufgabe 7 . Manlindet zwei Auflösungen. Der Halbmesser der einen gefundenen Kugel heisse R.Verkürzt man denselben um r und beschreibt mit dem Halbmesser (R — r) eineconcentrische Kugel, so wird dieselbe die drei Ebenen Qri, ®2 und ®3 berühren,eben so die gegebene Kugel und zwar von aussen.

Man erhält auf diese Weise zw r ei Kugeln, welche die drei Ebenen berührenund die gegebene Kugel von aussen. Wenn man die drei parallelen Hüifsebe-nen in der Entfernung r in Beziehung auf den Punkt f nach innen legt, so kannman auf analoge Weise sich zwei Kugeln verschaffen, welche ebenfalls die Be-dingungen der Aufgabe erfüllen, die gegebene Kugel aber einscliliessend berühren.In diesem Falle müsste man den Radius der lliilfskugeln um r vergrössern.

Aufgabe 13.

Eine Kugel zu beschreiben, welche zwei gegebene Ebenen und zwei gege-bene Kugeln berührt.

Die beiden gegebenen Ebenen heissen ®i und ®2, die Radien der beiden ge-gebenen Kugeln seien U und r, und zwar sei R r. Der Mittelpunkt der kleine-ren Kugel heisse f.

Ich construire mir eine mit der Kugel um R concentrische Kugel mit demRadius R -|- r und zwei mit ®i und ®2 resp. parallele Ebenen Ei und Eg, welchevon den ursprünglichen um r abstehen und zwar einmal in Beziehung auf den