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8 L21.

R lnimpolarcoordiii alt».

Nimmt man in einer festen Ebene einen Punkt als Pol undeine durch denselben gezogene Gerade als Polaraxe an, so läßt sichjeder Punkt des Raumes festlegen durch den Leit strahl r, d.h. durch dieEntfernung des Punktes vom Pole, und durch die Polarwinkelwelche die Projektion des Leitstrahls auf die Ebene mit der Polaraxeund der Leitstrahl mit seiner Projektion bildet.

Läßt man gleichzeitig den Winkel P von 0° bis 360° und denWinkel von 0° bis ^ 90° wachsen, so nimmt der Leitstrahl alle

möglichen Punkte des Raumes in sich auf. Es wird dies deutlicher,wenn man zunächst gleich Null sein läßt, in welchem Falle der Leit-strahl bei von 0° bis Z- 90° wachsenden denjenigen Theil einer aufder festen Ebene senkrechten Ebene beschreibt, welche die Polaraxe ent-hält, also auf der einen Seite von der im Pole errichteten Senkrechtebegrenzt wird. Diese Ebene dreht sich um die letztgenannte Senkrechte,sobald -> zunimmt, und nimmt bei dem Wachsen dieses Winkels hon 0°bis 360° alle Punkte des Raumes in sich auf.

Soll ein System rechtwinkliger Coordinaten in ein Polarsystem aufdie Weise verwandelt werden, daß der Anfangspunkt der Coordinaten alsPol, die Axe der x als Polaraxe und die Ebene der als Ebene derWinkel -> genommen wird, so hat man folgende Transformationsformeln,deren Richtigkeit leicht einzusehen ist:

x — rooss/ioosr/,^ — rsin^oosr//

2 — r sin r/-. s

Zählt man die Winkel ^ in der angegebenen Weise, so stimmendie Vorzeichen der Coordinaten x,mit denjenigen nberein, welcheaus den Winkelfunktionen hervorgehen.

Man ermittelt leicht, wenn -> und gegeben sind, die Winkel,welche die Projektionen des Leitstrahls auf die Ebenen der x? und mitder Axe der 2 bilden. Die Gleichungen des Leitstrahls sind nämlich,sofern er eine durch den Coordinatenanfang gehende Gerade ist:

X —L2 , ^—1)2,

woraus mit Benutzung von (1) sich ergibt:

u — , b — ootrj/siirPi

u und d sind die Tangenten der gesuchten Winkel.

( 2 )