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Drittes Kapitel.

Die eine Wurzel x ----- —» entspricht nun dem Minimum lkl ---- o.Der andere Faktor der Gleichung hingegen liefert den eigentlich ver-langten kleinsten Werth von 60. Es ergiebt sich:

Setzt man nun diesen Werth oben ein, so erhält man:

60^ — I)»-l-3a'mithin

60§ --- g?-pl>2 — o».

Construirt man also eine Curve, deren auf die rechtwinkligen Coor-dinatenaxen )VV und ^6 bezogene Gleichung die Form hat:

x'-s-^ -

so ist dieselbe der Ort aller der Punkte, für welche die kürzesteLinie 60 denselben konstanten Werth o hat. Jede dieser Linien 60ist aber Tangente der Curve in ihrem zugehörigen Punkte 6. Ge-setzt nämlich, eine Linie HD schnitte die Curve außer in 6 noch ineinem zweiten Punkte 6', so ließen sich stets durch die Punkte desBogens 60' grade Linien 6'0' legen, welche kürzer sind als 60,was gegen die Definition unserer Curve verstößt. Alle kürzesteLinien 60 sind also Tangenten derselben. Bewegt sich ferner einegerade Linie von constanter Länge c so, daß ihre beiden Endpunkteaus den Schenkeln eines rechten Winkels bleiben, so ist die Gleichungder Curve, die sie bei dieser Bewegung umhüllt:

Ist an Stelle des rechten Winkels 6^0 irgend ein schiefer gegeben,so läßt sich die Aufgabe ebenfalls ohne alle Schwierigkeiten lösen.

Es seien (Fig. 26) 6)V und 0^ größte Kreise einer Kugel,welche zu einander senkrecht stehen. Ferner sei auf derselben Kugelder Punkt 6 folgendermaßen gegeben. Man lege durch ihn einengrößten Kreis 86 senkrecht zu ^0, so daß 86 — 4?r ist. Ebensosei 6'66' —ein größter Kreis, der normal zu )L6 ist. DerPunkt 6 wird nun durch die gegebenen Bogen 06 — a und 66' — !>völlig bestimmt. Damit ist zugleich der konstante Winkel 6'68 —«gegeben, indem cos«---tx n.t§l> ist. Wie muß der größteKreis 60 durch 6 gelegt werden, damit der Inhalt Mdes sphärischen Dreiecks 6^0 ein Minimum werde?