Geometrische Aufgaben.

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Da der Inhalt eines sphärischen Dreiecks auf einer Kugel vomRadius 1 gleich dem Ueberschnsse seiner Winkelsnmme über zweiRechte ist, so ist es hinreichend, daß die Summe der Winkel —uund v so klein als möglich wird. Bezeichnet man aber die

Winkel ?6l) und k'OL als die unabhängig Veränderlichen mitresp. x und v, so erhält man aus den rechtwinkligen Dreiecken 6kDund sofort die folgenden Gleichungen:

(1) 008 V — 008A8MX und

(2) 008 u — 008 ll 8 in^.

Da nun u-i-v ein Minimum werden soll, so braucht man nur nachElimination von v irgend eine Funktion von u-s-v mit Hülfe die-ser beiden Gleichungen als Funktion von x darzustellen und alsdannnach der gewöhnlichen Methode ihre ausgezeichneten Werthe aufzu-suchen. Da aber die Ausführung dieser Rechnungen etwas unbequemist, so ziehen wir es vor, den folgenden Weg einzuschlagen.

Setzt man x, für x, so verwandelt sich entsprechend > inv in v, und u in u,, so daß man erhält:

008 V, -- 008S8INX, und608 u, — 008 d 8111^.

Durch Subtraktion dieser Gleichungen von den obigen folgt aber:

608V — 008V, — 608g(8MX — 8MX,),

008N — 008U, — 608b(8IN^ — S>»Vi)-

Verwandelt man ferner sämmtliche Differenzen in Produkte, so hatman:

8in ^(v-s-Vi)8in4(v, — v) -- 008k>.008H(x-s-Xj)8iN^(x—X,),8inz(u-i-u,)sm4(u,—u) -- 608l).oo8^(^-ffy,)8ini(y— 7 ,).Addirt man aber diese beiden Gleichungen, nachdem mau mit ro8p.8i»;(v-I-v,)und dividirt hat, so ergicbt sich:

2 8 iii 1 hu, v,—(n v)) 608 1 (v,—u,—(v — u))

^ 6080608 z(x-l-x,)8in>(x-x,) 608 b 008 ^ (^-s-) 8IN ^ —)

8in^(v-s-v,) ^ 8inz(u-s-n,)

Wir nehmen jetzt, um die dem Minimum entsprechenden Werthevon x zu finden, an, daß x und x, irgend ein Werthpaar sei, fürwelches u,-j-v, — u-j-v werde. Nach dieser Voraussetzung wird dielinke Seite der obigen Gleichung — 0.