Geometrische Aufgaben.

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Hält man den Punkt ^ fest und versteht man unter a und b dieLängen der Bogen k'O und so gehen dieselben, wenn man denRadius der Kugel unendlich groß werden läßt, in die rechtwinkligenCoordinatcn des Punktes 6 über. Ihre Sinus sind ihren Längen pro-portional, ihre Cosinus aber werden — 1. Es wird also für die Ebene:

. k

lox — -

6 g

ein Resultat, das mit dem in Rr. 34 gefundenen übereinstimmt.Ist der gegebene Winkel L^k> kein rechter, sondern irgend ein schie-fer, so läßt sich die Rechnung auf ganz dieselbe Weise ohne alleSchwierigkeiten durchführen.

8-. Es sei (Fig. 26) wiederum ein sphärischerrechter Winkel. Man soll durch den Punkt 0 einen größ-ten Kreis Lv so legen, daß der Bogen Lv ein Mini-mum wird.

Behält man die in der vorigen Aufgabe angewandten Bezeich-nungen bei, so ergiebt sich aus den rechtwinkligen Dreieckenund

cot 6l) — cot m — cv8 x cot a und

col6L — col n — cosx cotb.

Bezeichnet man wiederum mit x und x, irgend ein Werthpaarder unabhängig Berändcrlichen, für welches m-p n —m, ch u, ist,so erhält man folgende Gleichungen:sin(m—-m,)

—-:—- — eota (cosx, —co8x) und

sm m, sin m ^ ^

8>n (n- 1 ,,)

8IN N^ 8in n

colb (co8^, — co8

Addirt man aber diese Gleichungen, nachdem man sie mit renp.8inm, 8inm und sinn, 8inn multiplicirt hat, so ergiebt sich nacheinfachen Umformungen:

8 in 4 (in-f-n—niz—n,) cv8^(m—m, —n-f-n,)

— cotg 8in^(x-i-x,) 8in^(x—X,) 8MM, 8inm-j- cot b 8M s« — ^ (x-f-x,))8in ^(x, —x) 8M n 8IN N,.

Da NUN m-pn —m,-f-n, sein soll, so verschwindet die linke Seitedieser Gleichung nnd man erhält, wenn man mit sin j (x—x,) dividirt: