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Drittes Kapitel.

oberhalb 86; denn da fallen die Steine nach 6 hin, und man wirdnun zu der Frage veranlaßt, wo liegt unter diesen Punkten derje-nige, von welchem die Steine ausgehen müssen, damit sie in derkürzesten Zeit nach dem festen Punkt 6 gelangen. Dieser Punktwird ebenso bestimmt wie oben. Man verbinde nämlich 8 mit 6, soist der Dnrchschnittspunkt X, dieser Geraden mit der Peripherie desKreises der verlangte Punkt, was auf ganz ähnliche Weise wie obenbewiesen wird. Hierauf ist auch der Fall zurückzuführen, wo derPunkt 8' innerhalb der Peripherie des Kreises liegt.

Liegt aber 2) der Punkt 8 (Fig. 29") tiefer als der tiefstePunkt 8 des Durchmessers 68, so heißt die Aufgabe: auf derPeripherie des Kreises die Punkte zu bestimmen, daß die Zeit, inwelcher Steine von ihnen ans nach dem festen Punkt 8 gelangen,ein Minimum oder Maximum wird. Offenbar erhält man hier denPunkt, der den: Minimum entspricht, wenn mau 8 mit dem oberenPunkt 6 verbindet, hingegen den Punkt, welcher das Maximum giebt,wenn man 8 mit dem unteren Punkt 8 verbindet.

>18. Auf der Peripherie zweier Kreise, welche inderselben vertikalen Ebene liegen, zwei Punkte so zu be-stimmen, daß Steine, welche auf einer Geraden vondem einen zu dem andern gleiten, dazu die längste oderkürzeste Zeit gebrauchen.

Es seien die Durchmesser 68 und 6'8' (Fig. 30) beide gleich-gerichtet mit der Schwerkraft. Nimmt man nun auf der Peripheriedes Kreises X irgend einen Punkt als Ausgangspunkt der Steinean, so kann man jetzt nach 45. die Punkte auf der Peripherie desanderen Kreises finden, nach welchen die Steine in der kürzesten undlängsten Zeit gelangen. Dazu hat man ja nur nöthig, diesen Punktmit 8' und 6' zu verbinden- Nun weiß man aber auch, daß die-jenigen Steine, welche von den Punkten 6 und 8 des Kreises Xausgehen, in der kürzesten oder längsten Zeit nach 8' und 6' ge-langen.

Verbindet man daher den höchsten und tiefsten Punkt des einenKreises mit dem höchsten und tiefsten Punkte des andern, so habendiese 4 Geraden mit den beiden Kreisen im Allgemeinen je 4 Durch-schnittspunkte gemein, und je zwei auf derselben Geraden liegende