Vermischte Aufgaben.

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Für 0, m, — 3r—

V —itlä"- m, — 3/r'-s-(»'—r(>.

Wenn man e- über das man.noch verfügen kann, von r bis Zrvariiren läßt, so ist beständig m, das wahre Minimum; liegt aberC zwischen 0 und Ho, so ist m, das wahre Minimum, wovon mansich leicht überzeugt, wenn man die Differenzen m^ —m?, ms—m^,m^-m, bildet.

Die kürzesten Linien auf chlindrischen Flächen.

Sind auf einem beliebigen Cylinder zwei Punkte ^ und 6 ge-geben, und soll die kürzeste Linie auf demselben konstrnirt werden,welche sie verbindet, so hat man ebenfalls den Cylinder nur aufeine Ebene abzuwickeln. Die Strecke der kürzesten Linie /Vk mußdann, wie bei dem Kegel, zu der geradlinigen Strecke werden,und die über ^ und 6 hinaus verlängerte kürzeste Linie geht in dieentsprechende unendliche Gerade -V'L' über. Da aber bei dieserAbwicklung die Cylinderkantcn in ein System paralleler Geradenübergehen, welche die ganze Abwicklungscbcne erfüllen, so folgt daraussofort die für die kürzesten Linien auf chlindrischen Flächen charak-teristische Eigenschaft, daß sie mit sämmtlichen Kanten, welche siedurchschneiden, einen und denselben Winkel bilden. Ist also irgendein Punkb auf einem geraden Cylinder mit beliebiger Basis gegebenund bewegt sich dieser Punkt auf demselben so, daß die Bogen,welche seine Projektion auf die Basis durchlaufen hat, seiner Ent-fernung von derselben Ebene proportional sind, so beschreibt er einekürzeste Linie des Cylinders. Dieselbe umschlingt den Cylinder inunendlich vielen kongruenten Windungen, welche sämmtlich zur Deckunggebracht werden können, wenn man sie parallel mit sich selbst ver-schiebt. Bezeichnet man ferner den constantcn Winkel, unter welchemdie kürzeste Linie die Cylinderkantcn schneidet, mit a, und ist / dieLange der geschlossenen Basis, so ist die konstante Entfernung, umwelche die homologen Punkte zweier benachbarten Windungen voneinander abstehen,

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