140
Fünftes Kapitel.
Sind nun zwei beliebige Punkte F und L auf einer abwickel-baren Flache gegeben, und verbindet man dieselben durch irgend eineCurve, welche auf der Fläche liegt, so muß dieselbe, wenn sie einekürzeste sein soll, sich nach der Abwicklung der Fläche in eine gradeLinie verwandeln.
Diese Curve hat nun ganz ähnliche Eigenschaften, wie die kürzesteLinie des Kegels. Sie kann ebenso in mehreren Windungen die ab-wickelbare Fläche umschlingen und aus mehreren unter Umständenunendlich vielen Zweigen bestehen, welche sich sämmtlich asymptotischin das Unendliche erstrecken, und auch sonst vielfach Analogien mitder kürzesten Linie auf dem Kegel zeigen.
Es seien (Fig. 63) LF'6' und 66'6' zwei ebene Elemente einerabwickelbaren Fläche. Ihre Schnittlinien 6^', IM' und 66' schnei-den sich in den Punkten U und b der Rückkchrskante VLbO. Fernerseien ^6 und 66 zwei Elemente einer kürzesten Linie aus der Fläche.
Da diese Curve nach der Abwicklung eine gerade werden soll,so muß der W. F66' — W. 66k sein, eine Eigenschaft, die für diekürzesten Linien charakteristisch ist.
Legt man also durch 6 eine Ebene senkrecht zu 66, so schneidetdiese die Ebene F66 in einer Geraden M, welche den Winkel F66halbirt. Es folgt dies sofort daraus, daß der Winkel 666 —k61ist. Projicirt man nämlich 66 auf die Ebene 161', so halbirt unterdieser Voraussetzung die Projektion 68 den Winkel 161'. Errichtetman aber in 6 ein Loth zur Ebene 866, so liegt dasselbe in derEbene 161', da dieselbe senkrecht zur Ebene 866 steht. Daher fälltdann auch die Schnittlinie der durch 6 zu 66 gelegten Normalebcneund der Ebene 161' mit dieser Normale M zusammen. Ist aberW. 86bl ein rechter, so ist auch 6M — !M/V. Da nun fernerder Winkel 161' unendlich klein ist, so ist IM nicht nur senkrechtzu IM sondern auch zum Cnrvenclemente 60. Diese Linie IM istalso Normale der abwickelbaren Fläche, da sie senkrecht zum Flächcn-elemente 166 steht. Legt man also durch zwei aufeinanderfolgendeCurvenelcmcnte F6 und 66 oder die beiden zugehörigen Tangen-ten F1 und 61 einer kürzesten Linie, eine Ebene, welche man dieSchwingungsebenc nennt, so geht dieselbe auch durch die Normale M,d. h. sie ist eine Normalebene der abwickelbaren Fläche.