Isoperimetrische Ausgaben.

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Vorstellung der von ihm angewandten Methode geben, und einigeder einfachsten und wichtigsten Resultate, zu denen er gelangt, mit-theilen. Zugleich verweisen wir den Leser, welcher eine weitere Be-lehrung sucht, auf die erwähnte interessante Abhandlung selbst.

-Et Von allen Dreiecken, welche über derselbenGrundlinie liegen und denselben Umfang haben, hatdas gleichschenklige den größten Inhalt.

ES sei (Fig. 65) ^66 ein gleichschenkliges, ^08 ein schief-winkliges Dreieck über derselben Grundlinie beide Dreiecke sollenferner denselben Umfang haben. Man kann nun leicht beweisen, daß^ ^08 kleiner ist als ^V68. Dazu hat man nämlich nur nöthig,zu zeigen, daß ^K6>-8KU ist. Macht man aber bb—88, 86--KI1,so hat man nur zn zeigen, daß die Seite 6b des ^ 6Kb, welchesdem ^ K8V congrnent ist, ganz innerhalb des Dreiecks ^86 liegt.Es muß also stets der Punkt b zwischen ^ und 8, der Punkt 6zwischen 8 und 6 fallen. Bezeichnet man aber den W. 6^8 mit «,den W. 68^4 mit und W. 0^8 mit so ist « — /? und daherMan hat mithin ^8>88. Wenn man also 8b — 88abschneidet, so fällt b stets zwischen eV und 8. Es ist nun noch znzeigen, daß 6 ebenfalls zwischen 8 und 6 liegt. Läge nämlich 6

nicht zwischen 8 und 6, sondern auf 6 selbst, so mußten, da dann

88 -- 86 wäre, die Dreiecke 6b8 und V88 kongruent sein, worausb6 — 88 folgen würde. Zugleich hätte man dann 8b — 86, mit-hin, da äO-i-86 - ^8 st 88 ist, auch 88-st^b -- b6-stäb --- ^6.Dies ist aber unmöglich, da die Summe zweier Dreiecksseiten nichtgleich der dritten sein kann. Ebenso kann man beweisen, daß derPunkt 6 nicht über 6 hinaus fällt. Denn fiele er z. B. auf U,so müßte aus denselben Gründen ^b-stkU-stU6 — eV6 sein, wasauch unmöglich ist. Der Punkt 6 liegt also zwischen 8 nnd 6.

Das Dreieck ^86 ist folglich größer als 888, mithin auch

^.68>ä88.

Aus dem eben bewiesenen Satze läßt sich umgekehrt beweisen,daß von allen Dreiecken, welche über derselben Grundlinie liegennnd denselben Flächeninhalt haben, daö gleichschenklige den kleinstenUmfang hat. Ferner folgt hieraus, daß von allen Dreiecken über-haupt, welche denselben Umfang haben, das gleichseitige den größtenScheNbach, Mathematische Lehrstunden. 10