genbeut Beifpiele. [/ —a*l/— b = \/( —a) (—b) = [/ - 4 - ab = l/a • \/b. ®ied fei falfdp.Sftatt müffe [/—1 att$ beit itnaginärcit SBurjeln abfonbern tttib erhalte [/—1 • \/a • 1/—1 • \/b= (\/ — 1) J • \/a • \/b = — \/a • l/b. ©olcpe Bepaitptungen mattbertt batttt tticpt feiten üou ßepr»Pudp ju ßeprbucp. Slepnlicped finbet fiep, mit einem anbeten 35eifpiete belegt,.bei ©rottau.*) Stucp in

m

einer onbern ^Programm■ 3l6panbhtng**) roirb eingefepärft, bap man (—1)" als PlopeS Beicpeu, alsfßofitionS3eidpcn, unb „nie als eine gemöpuliepe fpotenggröpe anfepen'' nnb als fold^e bepattbeltt biirfe.©olcpe nnb äpnlicpe SBaritungen, bie Eingabe non fPaHiatibmitteln, wie baS f>erattSfe|en beS §ac-torS i n. a., optte ttäperc Bcqrünbuitg nnb opne mirflicpe ©iiifüprung in bie ©adpe, finb natiirlidpnidjtö meniger als geeignet, jur fieperen §anbpabung bet SSßnrjelgröpen 31t fiipren nnb namentlicp mitben imaginären Baplen nertrant 31t ntaepen; fie muffen nielmepr au dp an ipreni Speilc baju mit-loirfen, bap bie leptereu immer roieber als unbequeme ©inbringlinge erfepeinen, bei bereu §anbpabungman fic^ aüerpanb biSper ungefannten ©efapren auSgefept fiept, unb bereit man baper am liebftengatij entlebigt märe. ®ent Stefultate ttaep finbet fiep bagegen burcpatiS SlidptigeS über biefett fputtft beiDp nt. ***) ©ine mirflidpe ©infiept in bie ©aepe aber nnb jttgleicp ein anfcpattlicpeS Bilb berfelbenliefert nur bie geoinetrifdpe ©arftellutig ber SBurjeltt in ber Bapfettcbene, eine ©arftellung, melcpe ebenmir bttrdp bie Sluffaffnng ber complejcn Baplen als „StidptungSjaplen" (Riecke. „nombres direc-tives“, Mourey) ntöglidp mirb. Bleiben mir bei ben SBurjeln mit ganjjapligen pofitiben ©jpottentenftepen, fo pabett mir picr beit erfteit fpitnft, auf meinem uns ber uorjüglidpc SBertp ber geometrifepett®arftelliing ber contfilejctt Baplen audp für ben elementaren Unterricht in ber Sllgebra entgegentritt, unbicp gepe beSpatb gern nod) itt .fitrje auf biefett iputtft ein, ittbem id) im SBefeutlicpcn baS Ptefultateiner Untcrfiiepung miebergebc, 31t meldper miep jene norper angebenteteii Bepauptiingeu non ©rottait,Sirpal tt. 51. neranlapten.

©8 fei m eine pofitibe gaitje Bapl. Um bie mte SBurjel auS irgenb einer BapI ju pnbeit,

meldpc mit ber pofitiben, tcelleu Sldpfe (ttaep ber ©eite perum geredpnet, auf mcldjer bie pofitibe

imaginäre Sltpfc liegt,) ben SBinfel (p bilbet, ttttb beren abfoluter SBertp ober Betrag = r ift, f) patman befanutlicp y in m gleiche ®pcile jtt tpeilen, unb auf ber erftett £peillinic, bon ber reellenSlcpfe auS geregnet, ben abfoluten SBcrtp ber mten SBnrjel, b. p. biejenige ©röpe aiifjittragen, melcpe,mmal als gactor gefept, baS fprobuct r gibt, ober bie matt finbet, meint man ben abfoluten SBertpr in m gleicpe gactoren ^erlegt. ©0 erpälf tnatt aber nur einen SBertp ber mten SBurjel; fÄiedenennt ipn ben eiiifadpftett SBertp. Befdfreibt man fidp bann mit ber erpaltetten mten SBttr-gel alb SftabiuS um ben ÜJtittetyunft einen ÄrciS unb tpeilt bie fßeripperie 001t beut ©libpunfte biefes

9tabiuS auS in m gleicpe Speile, fo finb bie Stabien, melcpe ttaep ben m auf biefe SBeife erpalteneu

Speilpuntten ber Spcrippcrie fiipren, bie fätitintlicpeit mSBertpe ber mten SBurjel. ®eun bei gleieper

*) sprogramm bet S'anjiget 11 . f. tu. ©. 32.

**) fßtogr. beb ©hinnafimnS in Sefcpen, 1856. 5Dirl)al, Senterfungen über imaginäre ©röpen. ©. 28 .

, ***) ©eift u. f. tu. @. 8 f., 64 f.

t) ®en SBinfel <p nennt §anfcl bie Stnontalie bet ©tteefe; bie ©tteefe r nannte Slrganb „SJiobul"; ©aubnannte bab Quabrat berfelben „Storni"; am meiften empfiefjlt fiep bafiir bet oon SBeierftrab u. St. gebrauchte Staine„abfoluter SBertb; ober „Setrag", ber ftcfi auch mit unferet oben bargelegten Sluffaffung beb S5°f'tiücn, Stegatiuen unbSmaginären burchanä im ©inftange bepnbet. ®ah bie compleje 3af)l fich bann allgemein burdj r (cos <f -f-i sin q) be*jeiihnen läpt, ift befannt.