4R

m

abfolnfer Sänge bilbett biefe mSinieu mit ber pofitiDen reellen Slcßfe bie SESinfel —

^ .... m ^ ergebt man biefe mStrecfcn auf bie mte Poteit 3 , fo ßot man

bie abfolute Sänge mmal alö gactor S» feßen unb bie fo erhaltene ©treefe auf bie Sinie aufjutragen,

311 ber man foinint, mentt inan bie refp. äßittfelerhaltenen äßittfel <p, y

ff ff-

■ 4R

u. f. tu. mit m mnltiplicirt. ®ie fo

m m

•4R, <p2 • 4R u. f. ro. führen aber alle 31 t berfelbett Sinie, tton bermir attögegangen marett, 3 uriicf. ®ie mäßu^eltt finb alfo bie größten Dlabien eineö regulären m-eefö,

Don melcheu ber eine mit ber pofitiüen 9lje ben Sßinfel — 6 ilbet. (pietauö laffcu jüh fofort ©chliiffe

m

3 ieljen. ®a nämlich bie oerfeßiebenen SRicßtungeti, auf melden bie oerfeßiebenen mten äßnrjcln liegen,4R

ftetö um ben *< — Don einanber entfernt finb unb ber •< <p ftetö <! 4R fein muß, fo folgt fofort, baß,

metm nicht ber elfte Stabiuö auf bie reelle pofitiDe Slcßfe felbft fällt, auch feine anbre SBurjelauf biefe faden fann. ®enn fällt ber erftc IRabius nicht auf bie reelle pofitioe Slcßfe, fo bilben bie

beiben näcßftliegenbeit Sdabien (ber 2 te unb bet leßte) mit ihm feßott größere äßinfcl alö nämlich4R

—; bie pofitioe Slcßfe muß bann alfo notßroenbig 3 ro ifcß en 2 aufeinanber fofgenben JRabien liegen,nämlich gtuifdjen bem leßten unb bem erften. g-ällt bagegen ber erfte Stabiuö auf bie pofitioe Slcßfe,

fo muß — = 0 , alfo <p = 0 fein; b. ß. mir auö reellen pofitiüen 3 aßlen gibt eö eine unb

auch nur Sine reelle pofitioe SSur 3 e 1. gällt ferner eine SSurjel auf bie negatiüe Slcßfe, fo

fontmt eö barauf an, ob m eine grabe ober uttgrabe ift. 3ft m eine grabe 3aßl, fo muß auf

ben ^albfreiö eine gatt 3 e Slt^aßl ber gleichen Sßeile Peripherie fallen; eö muß bann alfo auch

einer ber ra®heifßuiifte auf bie pofitiDe Slcßfe fallen; bieö ift aber, roie mir gefeßen ßaben, nur bann

möglich, menn <p = 0 ift. 3ft m uttgrabe, fo fallen auf ben §albfreiö eine ganje Sl^aßl ber mUßeileber Peripherie unb noch bie §älfte eines folcßett Slßeileö; ber erfte (unb ber leßte) Otabinö muß bann

4xC (£)

alfo um bie §älffe Dott — ober um — Don ber pofitiDeit Slcßfe entfernt fein, b. ß. ^ muß = —

fein ober cp = 2 R. Stuf bie negatide Slcßfe fann alfo nur bann eine SGSurjel fallen, menn entroeber y> = 0unb m eine grabe 3aßl, ober menn (p — 2R unb m eine uttgrabe 3aßl ift. ®affelbe IRefultat erßält man,

mentt man fragt: mann fann allgemein ^ ^ = 2R fein, mentt n irgenb eine gan 3 e 3aßl Don

1 biö (m — 1) ift. ®iefc ©leicßung ergiebt + 4nR = 2mR, ^+2nR = mR; ~ muß alfo notß-

meubig eine gati 3 e Stujaßl Don Sftecßteit fein, ©eßen mir ^ = 1R, fo erhalten mir </> = 2R unbm = 2n +1, m ift bann eine ungrabe 3aßl. ©eßen mir || = 2R, fo ift y = 4R ober = 0 unb

m = 2 n, alfo eine grabe 3aßl- ®ieö finb alfo bie beiben eitrigen g’älle, in melcßen eine reellenegatiDe äßttrjel erhalten merbett fann. @6 geigt fuß fomit, baß cö, unter Porauöfeßttng ganserpofitiDer SSurselejponenten, attS imaginären Ufabicanbeit nie reelle SBSursefn gibt; nur auö reellen Stabi-cattben gibt eö reelle SSurgeln unb jtuar, metm ber ©i'ponent eine grabe 3aßl unb ber Dtabicattb pofitiö ift,