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Frage von den Mathematikern behandelt zn werden. Die Uhrmacherknnst ist es in unserem Falle ge-wesen, die von Seiten der Praxis das Problem ausgestellt hat. Bei der Construction der Pendel-uhren wurde Huyghens auf den nicht absoluten Jsochronismus der Pendelschwingungen auf-merksam. Er suchte daher eine Curve, auf der die Schwingungen in mathematisch gleichen Zeiten er-folgen. Die Mittel aber, die zu Huyghens Zeiten die Mathematik darbot, erlaubten nur die Be-handlung des einfachsten Falles, des Falles nämlich, wo bei constanter Schwerkraft die Bewegung imleeren Raume und ohne Reibung stattfindet. Aber nicht lange Zeit verging, so gingen auch andereMathematiker an die Bearbeitung unseres Problems. Newton und Jacob Herrmann versuchtensich zunächst an demselben. Es gelang ihnen in der That, einen Schritt vorwärts zu kommen, indemsie an Stelle der Schwerkraft ein anziehendes Centrum setzten. Auch den Widerstand des umgebendenMittels konnten sie schon berücksichtigen, freilich mir für den Fall, daß dasselbe der Geschwindigkeiteinfach proportional sei. Erst nachdem die Analysis durch Leibniz in ein neues Stadium ihrer Ent-wickelung getreten war, gelang es fast gleichzeitig Enler und Jean Bernoulli , das Problem unterder Voraussetzung eines complicirteren Widerstandsgesetzes zu überwältigen. Necker war es dann, deran Stelle des Widerstandes, welchen das Mittel, in dem sich die Bewegung vollzieht, leistet, dieReibung auf der Curve berücksichtigte. Mit Hülfe der Fluxiodifferentialrechnung, die bei Bearbeitungdes Problems der Tractoricn vielfach benutzt worden war, suchte Fontaine dem Probleme für einebeliebige Kraft beizukommen, aber die allgemeine Lösung für ein beliebiges Widerstandsgesetz erreichteer noch nicht. Nur für den Fall, daß der Widerstand eine Funktion zweiten Grades der Geschwindig-keit sei, konnte er die Gleichungen lösen, die die Bedingungen der Aufgabe lieferten. Lagrangefaßte das Problem in etwas anderer Weise aus. Er wollte die allgemeinen Eigenschaften der Kraftermitteln, für die ein Tautochronismus möglich sei. Noch in anderer Weise bezeichnet Lagrange einenWendepunkt in der Geschichte unseres Problems. Bis dahin war das Problem von den Bearbeiternin seiner Reinheit, wenn man sich dieses Ausdrucks hier bedienen darf, aufgefaßt worden. Man Ver-langte stets wirklichen Tautochronismus, d. h. Constanz der Zeit. Bei Lagrange dagegen tritt jetztallgemeiner die Forderung auf, daß die Zeit eine gegebene Funktion des Bogens sei. Der Versuch,die Aufgabe in dieser Verallgemeinerung zu lösen, gelang ihm jedoch nur theilweise. Seine Lösung,die er für allgemein hielt, war dies nicht. Schon zu Lebzeiten erfuhr er Angriffe in dieser Beziehung.Und in der That ist seine Lösung, wie wir sehen werden, nicht so allgemein gewesen, wie er glaubteAber ein wesentlicher Fortschritt war mit dieser Verallgemeinerung gemacht. Denn an diese Ver-allgemeinerung schließen sich die späteren Arbeiten a», nachdem die von Enler und Lagrange ange-bahnten Fortschritte in der Analysis durch Gauß und andere Mathematiker ihre weitere Fortbildungempfangen hatten. Laplace war im Stande, das Problem für constante Schwere, bei einem Wider-stände, der eine quadratische Funktion der Geschwindigkeit ist, zu lösen, während Abel allerdings vomWiderstände absah, dagegen aber der Forderung, daß die Zeit eine gegebene Function des Bogens sei,mit Hülfe der Euler 'schen Integrale zu genügen vermochte. An die Leistungen dieser beiden be-rühmten Mathematiker knüpfen dann die neuesten Arbeiten an, die Meissel's, indem er an Stelleder constanten Schwerkraft ein anziehendes Centrum snbstituirte, und Somofs's, indem er eine beliebigeKraft mit einem Potential wirken ließ. Brioschi leitete dann die Formel ab, die Lagrange'sLösung als speciellen Fall enthält. Hoppe endlich kehrte zum reinen Tautochronismus zurück, machtedafür auf die verschiedenen Arten von tautochronischen Curven aufmerksam, die bis dahin noch vonkeinem Bearbeiter in dieser Strenge aufgefaßt waren.