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Das Problem der Tautochronen / von Dr. C. Ohrtmann
Entstehung
Seite
6
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Dies ist in kurzen Zügen der allgemeine Gang, den die Entwickelung des Problems ge-nommen. Wenden wir uns nun speciell zu den einzelnen Arbeiten.

. Der erste Mathematiker, bei dem das Problem auftritt, ist, wie oben bemerkt, Huyghensgewesen. Im Jahre 1673 erschien sein berühmtes Werk,Os HoroloZio osoillatorio", in welchemer seine Erfindungen betreffs der Pendeluhren niedergelegt hat. Im Anschluß an seine Untersuchungenüber den Jsochronismus der Pendelschwingungen behandelt er in der krox. XXV. kars II. dasProblem des Tantochronismus in seiner einfachsten Form, d. h. er suchte die Gestalt der Curve zubestimmen, auf der sich ein Körper bewegen muß, um immer in gleichen Zeiten zu dein tiefsten Punktezu gelangen, von welchem Punkte aus auch sein Fall begonnen haben möge. Er fand die Cycloideals die Curve, die dieser Forderung genügt. Sein Beweis dafür*) beruht auf folgendem Säße:Wenn ein Körper gegen einen Punkt bewegt wird durch eine Kraft, die stets der Entfernung vondemselben proportional ist, so wird er immer zu derselben Zeit zu diesem Punkte gelangen, wo er auchseine Bewegung begonnen haben mag. Dieser Saß aber findet seine Anwendung bei einem Körper,der sich längs einer Cycloide bewegt. Denn die Tangenten an einen Punkt der Cycloide sind stetsden Sehnen parallel, welche man in dem erzeugenden Kreise nach dem Punkte gleicher Höhe zieht,wenn man die im tiefsten Punkte gezogene Vertikale als Durchmesser nimmt. Diese Sehnen aberwerden in gleichen Zeiten durchlaufen. Die Kräfte, mit denen ein Körper im Anfang einer Sehnebewegt wird, verhalten sich aber wie die Sehnen. Da nun aber die Cycloidenbogen doppelt so großsind, wie die Sehnen, so findet obiger Saß hier seine Anwendung. Die Art, in der Huyghens dieBewegung in einer Cycloide hervorbrachte, ist, soweit sich aus den Bemerkungen Montucla's ersehenläßt, dieselbe, die auch Newton angewandt hat. Dieser war es zunächst, der sich mit unserem Problemebeschäftigte. 8setio X des ersten Buches in den:IBilosopinus Xatnralis krinoixia Natlismativa"ist diesem Gegenstände gewidmet. Er stellt sich dort in I.. folgendes Problem:^aesrs nt

60 NPN 8 xsnäulnin osoillstur in L^oloicls äuts." Die Art, in der er das Problem löst, ist diebekannte, daß er den beweglichen Faden des Pendels beim Oscilliren sich an einen Cycloidenbogenanlegen läßt. Den Jsochronismus dieser Bewegung beweist er dann durch den in krop. IX. aufge-stellten Saß, den er folgendermaßen ansspricht:81 vio ssntripsta, tsnäsns unäic^ns ^lobiosntruin l) sit in loois sinZniis ut äistantia, looi ougusczus a osntro, 6t las sols, vi aZsntsoorpns 2" osoillstur in xsriinstro s^sloiclis O/kK: äioo czuoä osoillationuin utoun^us in-asczualiuin asc^ualia srunt tsnixors." Auch er beweist zunächst, daß die Geschwindigkeiten an deneinzelnen Stellen der Bewegung sich immer wie die noch zu beschreibenden Bogen verhalten, führt denBeweis also auf denselben Saß zurück, den auch Huyghens bennßt hatte. Er war aber insofern einenSchritt weiter gegangen, als er nicht mehr eine constante Schwerkraft, sondern eine Kraft annahm, die,von einem festen Centrum ausgehend, proportional der Entfernung von demselben wirkt. AberNewton gelang es, noch einen Schritt weiter zu thun. Im zweiten Buche des oben erwähntenWerkes krox. XXVI. ließ er das Mittel einen Widerstand leisten, proportional der Geschwindigkeit.Unmittelbar vorher hatte er dort folgenden Saß bewiesen:Oorxora. lunsxsnäula. czuidus, in insäivczuavio rssistitur in rations inoinsntoruin tsinporis, st sorpora tunsxsnäula <zuas in s^uscksrn

°) Ich muß mich hier auf die Angaben Montucla's hinsichtlich des Beweises beschränken. Moutuvl»,Listoirs lies Natkäinstigue«. II. p. 719.) Das Werk von Hupghens soll zwar laut Katalog in der hiesigenKöniglichen Bibliothek eristiren. Es ist mir aber trotz vielfacher, zu verschiedenen Zeiten wiederholter Bemühungennicht gelungen, zur Einsicht desselben zu kommen. Es war eben stetsverliehen" oderverstellt".