Kravitatis spsoiüsas nasäio iiya rssistsuts inovsntur, ossillatiouss in o^eloiäs soäsm tsm-p»ors psrZuut, st aronum Partes proportionales siiuul ässsribuut." Auch der Beweis diesesSatzes gründet sich auf den Nachweis, daß die Kräfte den Bogen proportional sind. Mit diesem an-geführte» Satze ist dann aber das Problem unmittelbar gelöst.

Schon im Jahre 1726 glaubte dann Euler in den ^.ota Druäitorum eine Constructionder tautochronen Curven geben zu können, für ein unendlich entferntes und gleichmäßig anziehendesCentrum, wenn sich die Bewegung in einem Medium vollzieht, das einen Widerstand gleich einer be-liebigen Funktion der Geschwindigkeit bietet. Diese Construction war indeß, wie Jacob Herrmannin den ^.sta Lruäitorum vom Jahre 1737 zeigte, unrichtig gewesen. Sie gab nämlich nur solcheCurven, auf welchen der Fall in derselben Weise wie auf einer Cycloide im leeren Raum erfolgte,nicht aber solche, auf denen der Fall in gleichen Zeiten erfolgt, von wo auch die Bewegung begannenhaben möge. Euler nahm das Problem wenige Jahre später von Neuem auf, indem er die Fragevon einer etwas anderen Seite angriff. Er behandelt das Problem in seiner ersten diesen Gegenstandbehandelnden Arbeit: „Ds inuuiusraliilibus ourvis tautoebronis in vaouo (Oouanasntarii ^saä.kstropcä. 1734)" in Beziehung auf zwei Punkte. Erstens sucht er nämlich die Curve, in der einschwerer Punkt beim Fallen im leeren Raum nach gleichen Zeiten im tiefsten Punkte derselben an-kommen muß, wo er seinen Fall auch begonnen haben mag. ^Hier giebt es nur eine Curve zurLösung, die Cycloide. Nicht so, wenn die Aufgabe folgendermaßen gestellt wird. Es werden die-jenigen Curven gesucht, in denen die ganzen Oscillationen, aus Ab- und Ansteigen bestehend, isochronsind. Die Art, in der Enler dieser Aufgabe Herr zu werden sucht, ist die, daß er zu einer gegebenenCurve eine andere mit ihr zu verbindende sucht, die so beschaffen ist, daß die Oscillationen in gleichenZeiten stattfinden. Da kein Widerstand angenommen wird, so wird die Höhe, bis zu welcher derPunkt ansteigt, dieselbe sein, die er vom höchsten Punkte hcrabgestiegen ist. Die Geschwindigkeit desPunktes ist daher an jedem Punkte der Curve gleich derjenigen, die er durch Fallen aus der entsprechendenVertikalhöhe erhalten hätte. Die Zeit, die der Punkt braucht, um zwei gleich hohe Bogenelementc der

Curven äs und ät zu durchlaufen, wird daher gleich

äs -s- ät^/b>—x

sein, wo b die Gesammthöhe, x die

vom tiefsten Punkte gerechnete Vertikale bezeichnet. Dieser Ausdruck muß so integrirt werden, daß dasIntegral für x —0 verschwindet, für x^-b dagegen b aus dem Ausdrucke herausgeht. Setzt man

äs

ät —äv, äv^:^^, so ergiebt sich p —x^-', d. h. s-I-t —2 ^/ux.

Da hierin a be-liebig angenommen werden kann, so genügen dieser Bedingung unendlich viele Curven. Sollen beideBogen gleich sein, so ergiebt sich die Cycloide als die geforderte Curve.

In seiner zweiten Arbeit: 6urvu tautoollrona in liniäo i-ssistsntiam kaoisnts sseunäunayuuärata oslsritatuin (ebenfalls Oonam. ^oaä. kstropol. 1734) geht Euler einen Schritt weiter,indem er den Fall behandelt, wo sich die Bewegung in einem Mittel vollzieht, dessen Widerstand gleichdem Quadrate der Geschwindigkeit ist. Er nimmt dabei an, daß der Körper die Form eines Cylindersoder einer Kugel habe, deren specifisches Gewichtsich zu dem des umgebenden Mittels verhält wie na zu n.Da auch hier die Zeit unabhängig sein muß von der Höhe, in welcher das Absteigen resp. Ansteigen begonnenresp. aufgehört hat, so muß der Ausdruck des Zeitelementes, in dem ein Bogenelement durchlaufen wird,eine Funktion von der Dimension 0 sein in Beziehung auf die von dem Bogenelement abhängigeGröße. Es ist dies dasselbe Princip, auf dem auch, wie wir bald sehen werden, Jean Bernoulli die