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Lösung dieser Aufgabe gegründet hat. Euter untersucht die Fälle des Ansteigens und Absteigensgetrennt. Sind beide Curven jede für sich tautochron, so wird ja auch durch ihre Zusammenfügungeine Curve entstehen, in welcher die Oscillationen tautochron sind. Als Endgleichnngen der gesuchtenCurven findet er für den Fall einer Kugel mit dem Durchmesser a

8in'-°a säs -1- 3(na—u) utxäs 8 (ui— 11 ) ruakäx

für das Absteigen, resp.

8iu^a säs — 3(m —u) uibxäs — 8(m—u) rualiäxfür das Ansteigen. Wird 1 — d, so.werden die beiden Zweige zu einer continuirlichen Curve. Inandern Fällen sind die Bogen des Ab- und Ansteigens verschieden und der Körper steigt nicht bis zuder Höhe, von der er herabgestiegen war. Auch der Punkt der größten Geschwindigkeit fällt dann nichtmit dem tiefsten Punkte zusammen. Indem wir die weiteren Resultate dieser Arbeit, die sich auf dieUnterschiede in der Form der absteigenden und ansteigenden Curve, auf den Ort der größten Geschwirr-digkeit und deren Bestimmung beziehen, übergehen, wenden wir uns zu der Arbeit Jean Bernoulli's ,die, ziemlich gleichzeitig publicirt, in ähnlicher Weise zu denselben Resultaten gelangte. Die Arbeit isterschienen in den Memoiren der Pariser Akademie vorn Jahre 1730 (Nätlloäs pour trouvsr Isstautosllrouss äau8 clss uülisux räsistans soiuius 1e c^uarrä äss vitss868). Nach Boranschickungder Definition ähnlicher Funktionen, Bestimmung der Dimensionen derselben und dem Nachweise, daßähnliche Furrctionen von der Dimension 0 einander gleich sind. stellt er sich folgendes Problem:^Oäorirs la oourlzs par Igruslig uu oc>rp >8 ässosuäaut pur sa pssautsur äau8 uu ruilisu ä'uueäsuaitä uuitvrius äs c^uelgus poiut äs la oourOs c^u'il souuusuos a ässosuärs, parvisuustoujours äaus uu tsiups ä^al au poiut Is plus das; st czu'il rsruouts äau8 ls rusius tsiupspar l'autrs lu-auslls äs 1a sourbs jusc^u'oü il pourra rsiuoutsr, su supposaut 1a räsistausssoiuius ls c^uarrä äs8 vits8868." Die Geschwindigkeit in einem Punkte des Bogens wird bestimmt

durch die Gleichung

Es bezeichnet dabei § die Schwerkraft, s die Basis der natürlichen Logarithmen, r den Bogen, x die

vertikale Abscisse. Der Widerstand des Mittels ist gleich — angenommen. ^ endlich ist der Werth,

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den / 6^ n äx annimmt, wenn X die dem ganzen Bogen entsprechende Abscisse wird. Die Zeichen

-t: beziehen sich aus das Absteigen oder Ansteigen. Daraus ergiebt sich dann für das Zeitelement

Damit nun die Zeit, die der Körper zum Ansteigen oder Absteigen braucht, immer dieselbe sei, mußdas Integral von dem durchlaufenen Bogen unabhängig sein. Es muß daher gleich einer ähnlichen

naäk

Funktion der Dimension 0 wie^ x r eine

(iu eine willkürliche Constante) sein, deren Werth von

unabhängig ist. Es ergiebt sich daraus nach leichter Umformung