Daraus folgen als nothwendige Gleichungen:

6^ ° är — mä?, " äx — I".

Folglich

woraus mit Hülfe der anderen Gleichung folgt:

_ ^ *

ra^ äx — 2 aär ->- 3 ri 6^ -> är.

Da r zugleich mit x verschwinden muß, so ergiebt sich dann unmittelbar als Gleichung der Tautochrone

x — — 2 n-

2 ni- -t- 2 e

Die Differentialgleichung derselben kann auch auf eine Form gebracht werden, die frei von Exponentialgrößenist, nämlich -t- m? xär 2 irrär — na ^ näx,

eine Gleichung, die für n — ss, d. h. für den Fall, wo der Widerstand des Mittels Null ist, in dieGleichung der Cycloide r? — x

übergeht. Nachdem so die Hauptaufgabe, die Bern oulli sich gestellt, gelöst, bestimmt er die Länge einesBogens, den der Körper, nachdem er einen gegebenen Bogen abgestiegen ist, wieder ansteigt, aus derLänge desselben. Bezeichnet man diese mit a, so ist, da v'- beim Beginn des Absteigens Null ist,

Für die Endgeschwindigkeit in diesem Bogen findet sich daraus

^ I 1 - 6 ° I .

Aehnlich, nur mit anderen Zeichen, findet man für die Anfangsgeschwindigkeit im ansteigenden Bogen

von der Länge b

2n^Z

Da die Endgeschwindigkeit des abgestiegenen und die Anfangsgeschwindigkeit des ansteigenden Bogens

gleich sind, so folgt ^

1—e " —6" —1,

woraus 1 ^2e° —1^ — a.

Die beiden Zweige der Tautochrone sind also im Allgemeinen nicht gleich. Für den Fall des leerenRaumes (ir — ss) wird jedoch a — b, wie Bernoulli mittels einer leichten Transformation zeigt, daes direct aus der Form des für b gefundenen Werthes nicht hervorgeht. Den Werth der größtenGeschwindigkeit bestimmt Bernoulli, indem er das Differential gleich 0 setzt. Er erhält daraus dieBestimmnngsgleichung

-0,

woraus r — 2a — n 1 ^2e " — l).

Dieser Punkt fällt also im Allgemeinen nicht mit dem tiefsten Punkte zusammen. Bernoulli gelangtalso zu denselben Resultaten, zu denen gleichzeitig mit ihm Euler gekommen war. Beide hatten dasWiderstandsgesetz verallgemeinert, da sie denselben nicht mehr einfach proportional der Geschwindigkeit,sondern proportional dem Quadrate derselben angenommen hatten.