10

Wenige Jahre später suchte dann Fontaine das Problem noch allgemeiner anzugreifen.Seine erste Arbeit über diesen Gegenstand findet sich in den Memoiren der Pariser Akademie vornJahre 1734 (8ur 1s8 oourdss tautosliroii68). Er wendet zur Lösung des Problems die sogenannteFluxiodifferentialrechnung an, d. h. er läßt dieselben Linien auf verschiedene Weisen variiren und benutztzur Unterscheidung dieser verschiedenen Variationen einerseits die englische Bezeichnung der Fluxionsrech-nung, andererseits die Leibniz 'sche Bezeichnung der Differentialrechnung. Es ist dies dieselbe Methode,die frühere Gelehrte bei dem Probleme der Tractorien benutzt hatten. Fontaine behandelt das Pro-blem unter Voraussetzung einer beliebigen Kraft und eines Mittels ohne Widerstand. Das ist einFall, bei dem es möglich ist, den Ausdruck für die Geschwindigkeit zu bestimmen und den darausentnommenen Werth des Zeitelementes zu iutegrireu. Daun geht er dazu über, eine Methode zu geben,vermittelst deren man auch ohne Kenntniß der Geschwindigkeit die Curve allgemein bestimmen kann.Er behandelt dabei die Fälle, wo der Widerstand proportional der Geschwindigkeit, wo der Widerstandproportional dem Quadrate der Geschwindigkeit — und endlich, wo er proportional einem Ausdruck

von der Form ^ ^ ist. Wir begnügen uns hier mit diesen Andeutungen, da Fontaine in

seiner zweiten Arbeit im Wesentlichen noch einmal daraus zurückkommt, diese Arbeit sich aber besserim Zusammenhang mit denen von Lagrange übersehen läßt.

Später als Fontaine's und unabhängig von dessen Untersuchungen steht die Arbeit Necker'sda, die sich in den Meinoiren der Pariser Akademie vorn Jahre 1743 findet (8olutiou äs <zus1czus8xroblsinss äs insoaniczus). Necker geht auch insofern unabhängig von den Bestrebungen der früherenBearbeiter vor, als er das Problem für den leeren Raum zu lösen sucht, dagegen aber die Ver-allgemeinerung einführt, daß beim Gleiten auf der Curve eine Reibung stattfindet. Er spricht dasProblem nämlich folgenderinaßcn aus: „Drouvsr 1a eourlis sur laczuslls uu oorps Zlissant par8a pssantsur äar>8 Is viäs, äs czuslczus poiut äs 1a sourlrs czu'il soiurususs a ässssnärs,parvisuus touzours äans uu tsmp8 SAal au point 1s plus Iras, sn oupposaut 1a resistanssprovsuaut äu krottsiusiit ooinnae uns partis ästsriuiuss äs 1a prssmou czu'sxsros 1s oorpssur 1a sourks.^ Bezeichnet man mit V die Geschwindigkeit, mit X die vertikale Abscisse, mit r denBogen, beide vom tiefsten Punkte an gerechnet, mit R endlich den Krümmungsradius der Curve undmit Z die Schwerkraft, so ist der in Folge der Schwere auf die Curve ausgeübte Druck gleich

^_äx ^ V ^

§ - --^-, der in Folge der Centrifugalkraft ausgeübte Druck gleich Verhält sich nun die

Reibung zum Drucke wie m zu u, so ist der Ausdruck der in irgend einem Punkte wirkenden Kraft

^ äx när nid

Multiciplirt man die daraus resultirende Differentialgleichung mit 2s und integrirt, so er-

>2:1/ äi^ — äx

2 ^

^ 6 —2A^6^^ '"^äx—^är-—äx-^

so daß man erhält