Viertes Kapitel.

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sem Worte verbindet; es besteht hier ein logischer Fehler, derberichtigt werden muss. Zu dem Behuf unterscheide ich zunächstzwei Arten von Funktionen, die abstrakten oder zur Rechnunggehörenden, und die konkreten. Nur die ersteren eignen sichzu Gleichungen; man kann deshalb jede Gleichung als das Ver-hältniss der Gleichheit zwischen zwei rechnungsmässigen Funk-tionen der betreffenden Grössen definiren. Die Unterscheidung derFunktionen in abstrakte und konkrete kann in zweierlei Weisegeschehen, einmal a priori, indem man die Natur jeder Art vonFunktionen kennzeichnet, oder indem man die gegenwärtig be-kannten abstrakten Funktionen einzeln aufzählt. Im ersteren Fallnenne ich die Funktionen abstrakt, welche eine Art von Abhän-gigkeit zwischen bestimmten Grössen ausdrücken, die man inZahlen angeben kann, ohne irgend einen Vorgang zu nennen, wodiese Art von Abhängigkeit besteht; dagegen nenne ich diejenigenFunktionen konkret, bei welchen das bestehende Verhältniss nurdadurch definirt und begriffen werden kann, dass man dabei einen be-stimmten physischen Vorgang angiebt, mag er ein geometrischeroder mechanischer oder sonst welcher Art sein. Die meistenFunktionen sind anfangs konkret gewesen, z. B. jene Potenzen, welcheerst seit den Arbeiten von Vieta undDescartes abstrakte Funk-tionen geworden sind. Die auf die runden Linien sich beziehen-den Funktionen, sowohl die direkten wie die indirekten, sind nochheutzutage bald konkret, bald abstrakt, je nach dem Gesichtspunkt,aus dem man sie auffasst. In zweiter Stelle wird die Frage, obeine Funktion abstrakt und damit fähig ist, in eine analytischeGleichung einzutreten, eine rein thatsächliche Frage, weil ich alleFunktionen dieser Art angeben werde. Auf den ersten Blickscheint eine solche Aufzählung unmöglich, da die besonderen ana-lytischen Funktionen der Zahl nach nicht beschränkt sind; theiltman sie indess in einfache und zusammengesetzte, so gelangtman für jene zu zehn einfachen Funktionen, welche fünf Paarebilden, indem jede mit ihrem Gegensätze verknüpft wird; also:

1. Paar: Funktion der Summe oder der Differenz.

2. „ Funktion des Produktes oder des Quotienten.

3. ,, Funktion der Potenz oder der Wurzel.

4. Funktion des Exponenten oder die logarithmische.