40 Viertes Kapitel.
5. Paar: Funktion des direkt kreisrunden oder verkehrtkreisrunden.
Dies sind die Elemente aller abstrakten gegenwärtig gekann-ten Funktionen; sie genügen, um eine unbeschränkte Anzahl ana-lytischer Kombinationen zu gewinnen. Unsere gegenwärtigenElemente sind zahlreicher, als zur Zeit des Descartes, ja seihstdes Newton und Leibniz . Erst Johann Bernouilli und Eulerhaben im vorigen Jahrhundert die beiden letzten Paare eingeführt.Ohne Zweifel werden noch neue aufgestellt werden, aber vielewohl niemals, weil ihre Vermehrung zu grosse Schwierigkeitenbereitet.
Wir können uns nun eine bestimmte Vorstellung von dembilden, was die Geometer unter einer Gleichung verstehen, undman kann dabei ersehen, wie schwer die Aufstellung von Glei-chungen für Vorgänge ist, denn man gelangt nur dazu, wenn man diemathematischen Gesetze mit Hülfe von Funktionen ausdrückenkann, die aus den eben aufgezählten Elementen gebildet sind. DieAufgabe wird dann abstrakt und läuft auf eine Zahlenfrage hin-aus, weil jene Funktionen die alleinigen einfachen Verhältnissezwischen den Zahlen an sich sind, die man sich vorstelleu kann.Daher liegt die Schwierigkeit des Ueberganges vom Konkretenzum Abstrakten vorzüglich in der Unzureichlichkeit jener kleinenZahl analytischer Elemente, durch welche man zuletzt sich alleVerhältnisse vorstellen soll, welche zwischen den verschiedenenVorgängen bestehen können.
Diese Erläuterungen bestimmen den Gegenstand und den Um-fang der abstrakten Mathematik. Ich wende mich jetzt zu derenEintheilung. Die Wissenschaft der Rechnung trennt sich zunächstin zwei Hauptzweige, die ich die algebraische Rechnung oderdie Algebra und die Rechnung mit Zahlen oder die Arith-metik nenne, diese Worte in ihrem weitesten Sinne aufgefasst.
Die vollständige Lösung jeder Rechnungsaufgabe setzt sichaus zwei verschiedenen Theilen zusammen. Bei dem ersten sinddie gegebenen Gleichungen so umzuformen, dass man die Weise,wie die unbekannten Grössen aus den bekannten hervorgehen,völlig klar darlegt; dies ist die algebraische Aufgabe. Im zwei-ten Theile verwerthet man die so Vorgefundenen Formeln, d. h.