Viertes Kapitel.

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man bestimmt den Werth der gesuchten Zahlen, welche schon ingewissen deutlichen Funktionen der gegebenen Zahlen ausgedrücktsind. Der Art ist die arithmetische Frage. Der algebraischeTheil gestaltet sich damit zu dem Ausgangspunkt für den arith-metischen Theil. Beide unterscheiden sich durch das Ziel, was sieverfolgen, und sie unterscheiden sich nicht minder durch den Ge-sichtspunkt, nach welchem man die Grössen betrachtet; im erstenTheile handelt es sich um deren Verhältnisse, im zweiten um derenWerthe.

Die Algebra beschäftigt sich mit der Auflösung der Glei-chungen, d. h. mit der Umgestaltung verwickelter Funktionen inklare gleichwertige Funktionen; die Arithmetik hat es nurmit der Feststellung der Werthe dieser Funktionen zu thun. DerKürze halber werde ich von nun an sagen, dass die Algebra dieRechnung der Funktionen und die Arithmetik die Rech-nung der Werthe ist.

Nach Aufstellung dieser Theilung der Rechnungen in zweiHauptzweige, habe ich die Ausdehnung, die Wichtigkeit und dieSchwierigkeit bei diesen beiden Arten der Rechnung miteinanderzu vergleichen und demnächst nur noch die Rechnung der Funktionenzu betrachten, welche den wesentlichen Gegenstand dieser Unter-suchung bildet. Die Rechnung der Werthe oder die Arith-metik scheint anfangs ein ebenso weites Gebiet zu befassen, wiedie Algebra; indess genügt eine einfache Erwägung, um zu er-kennen, dass das Gebiet der Rechnung der Werthe bei weitemnicht die gleiche Ausdehnung hat; denn die Funktionen zerfallenin einfache und zusammengesetzte, und es ist klar, dass,wenn man bei den einfachen deren Werthe bestimmen kann, diezusammengesetzten in dieser Hinsicht keine Schwierigkeiten bieten.Im algebraischen Sinne spielt die zusammengesetzte Funktion einevon der elementaren, welche sie bilden, sehr verschiedene Rolle;gerade hier zeigen sich die Hauptschwierigkeiten. Die Zahl derarithmetischen Funktionen bestimmt sich nach der Zahl der ab-strakten Funktionen, deren Tafel ich aufgestellt habe. Die Ver-wendung dieser zehn Funktionen ergiebt (he aller Funktionen inder mathematischen Rechnung. Das Gebiet der Arithmetik istdeshalb sehr beschränkt, während das der Algebra unermesslich ist.