42

Vierte» Kapitel.

Indessen ist doch die Rechnung der Werthe ausgedehnter,als man glaubt, da manche arithmetische Fragen gewöhnlich nichtals solche angesehen werden, wie z. B. eine Fertigung der Tafelnvon Logarithmen und die Berechnung der trigonometrischen Ta-feln; das Gleiche gilt für jenes Verfahren, wodurch man den Wertheiner Funktion für jedes besondere System der Werthe bestimmt,die den Grössen zugetheilt werden, von denen die Funktion ab-hängt. wenn man die ausgeführte Form dieser Funktion nicht zuerkennen vermag. Die Auflösung der Gleichungen in bestimmteZahlen, the man nicht algebraisch aufzulösen vermag, und dieRechnung von bestimmten Integralen, deren allgemeine Integralenman nicht kennt, gehören in Wahrheit zu dem Gebiet der Arith-metik. Auch die Lehre der Zahlen muss man hierzu rechnen.In diesem Zweig der Wissenschaft will man die besonderen Eigen-schaften verschiedener Zahlen in Bezug auf deren Werth ermittelnund zwar unabhängig von deren Gebrauch für eine bestimmteRechnung; sie bildet eine Art von transcendenter Arithmetik.

Wenn man genau bestimmen will, worin die Ermittelung derWerthe besteht, so erkennt man, dass sie nur in Umgestaltungder Funktionen besteht, deren Werth man kennen lernen will.Diese Umgestaltungen sind trotz ihres besonderen Zweckes vongleicher Natur mit allen anderen rechnungsmässigen Umgestal-tungen. In dieser Hinsicht kann die Berechnung der Wertheals ein Anhang und eine Anwendung der Funktions-Rech-nung angesehen werden. Die abstrakte Mathematik besteht daherwesentlich auf der Funktions-Rechnung, deren Eintheilung ich jetztm Betracht nehmen will.

Ich habe schon gezeigt, worin die Schwierigkeit besteht, welchesich zeigt, wenn man mathematische Aufgaben in eine Gleichungbringen will. Da diese hauptsächlich aus der kleinen Zahl derElemente aller Rechnung hervorgeht, so scheint es, als wenn eshier nur auf deren Vermehrung ankäme; allein das ist eine Täu-schung, denn die Aufstellung einer neuen elementaren Reclmungs-funktion hat die grössten Schwierigkeiten. Die Einführung einesneuen Paares von Funktionen setzt die gleichzeitige Bildung einerneuen Rechnungsweise voraus, und diese ist sehr schwierig. Fälltalso dieses Mittel weg, so bleibt nur eins übrig. Hat man näm-