Sechstes Kapitel.

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Ein bedeutender Geometer, Carnot, gab endlich die logische Recht-fertigung der Leibnizischen Methode durch den Nachweis, dassdiese Methode auf dem Prinzip der Ausgleichung der Irrthümerberuhe.

Newton bot allmählich unter verschiedenen Formen seineeigene Weise, wie die transcendente Rechnung aufzufassen sei.Die, wenigstens von den Geometern des Kontinents jetzt ange-nommene Auffassung hat Newton bald mit den Namen der Me-thode der ersten und letzten Verhältnisse bezeichnet, baldmit dem der Grenzen belegt; letzterer ist der gebräuchlichste.Demnach besteht das Prinzip der transcendenten Rechnung darin,statt der ursprünglichen Grössen oder zugleich mit ihnen Hülfs-grüssen einzuführen, um die Auffindung von Gleichungen zu er-leichtern, nämlich die Grenzen der Verhältnisse der gleichzeitigenZunahmen dieser Grössen, oder mit andern Worten, die letztenVerhältnisse dieser Zunahmen, von welchen Grenzen oder letztenVerhältnissen man leicht zeigen kann, dass sie einen bestimmtenund endlichen Werth haben. Eine besondere Rechnungsweise,welche das Aequivalent der Infinitesimalrechnung ist, gestattetdann, von diesen Gleichungen zwischen diesen Grenzen sich zu ent-sprechenden Gleichungen zwischen den ursprünglichen Grössen zuerheben.

Die Fähigkeit, mittels einer solchen Rechnung die mathema-tischen Gesetze der Vorgänge leichter auszudrücken, beruht imAllgemeinen darauf, dass die Rechnung nicht auf dem Anwachsender gegebenen Grössen, sondern auf den Grenzen der Verhältnissedieses Anwachsens beruht und man daher für jeden Zuwachs eineandere Grösse von einfacherer Natur in die Rechnung einführenkann, wenn nur ihr letztes Verhältniss das Verhältnis der Gleich-heit ist, oder mit andern Worten, dass die Grenze ihres Verhältnissesdie Einheit ist. Es erhellt, dass die Rechnung der Grenzen durchdiese Substitution keineswegs verändert wird. Wenn man vondiesem Prinzip ausgeht, trifft man so ziemlich das, was der Er-leichterung gleichsteht, welche die Rechnung von Leibniz bietet;jene sind nur von einem andern Gesichtspunkte aufgefasst. Dem-gemäss werden die krummen Linien als die Grenzen einer Reihevon geradlinigen Vielecken aufgefasst, die ungleiekmässigen Be-