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Siebentes Kapitel.

Funktionen mit einer oder mehreren veränderlichen Grössen zuReihen, welche che Reihen von Taylor, Maclaurin , JohannBernouilli, Lagrange und Anderen befasst; 2) für die allgemeineLehre von den grössten und kleinsten Werthen bei allen Funk-tionen mit einer oder mehreren veränderlichen Grössen; 3) für dieallgemeine Feststellung des Werthes von Funktionen, welche ineiner anscheinenden Unbestimmtheit bei gewissen Hypothesen her-vortreten, die für den Werth der entsprechenden veränderlichenGrössen aufgestellt werden.

Ich gehe jetzt zu der in gleicher Weise abgekürzten Dar-stellung der Integralrechnung über; deren Eintheilung gründet sich,wie bei der Differenzialrechnung, auf den Unterschied der Inte-grirung der verschiedenen einfachen Funktionen und der ver-wickelten Differenzialen, oder der Differenzial-Gleichungen.

Jede dieser beiden Abtheilungen der Integralrechnung theiltsich wieder in zwei Unterabtheilungen, wie bei der Differenzial-rechnung, je nachdem es sich um Funktionen mit nur einer ver-änderlichen Grösse handelt, oder um solche mit mehreren.

Die Integration der einfachen Differenzial-Formeln der erstenOrdnung mit nur einer veränderlichen Grösse ist die Grundlagefür alle anderen Integrationen, da man diese nur so weit aus-führen kann, als man sie auf diese elementare Form zurückbringenkann, indem diese allein sich direkt behandeln lässt. Diese funda-mentale Integration wird oft durch den Ausdruck von Quadraturengekennzeichnet, und eine solche Klasse von Aufgaben entsprichtin der Differenzialrechnung dem elementaren Fall, wo es sich umdie Differenzirung einfacher Funktionen mit nur einer ver-änderlichen Grösse handelt. Indess ist die Aufgabe bei der Inte-grirung verwickelter, weil die Integrirung zusammengesetzterFunktionen sich nicht nothwendig aus der von einfachen Funk-tionenen ableiten lässt. Daher kommt die von Natur unbestimmteAusdehnung und die so mannigfache Verwickelung der Frage derQuadraturen, von welcher man, trotz aller Anstrengungen derMathematiker, noch so wenig Kenntnisse besitzt.

Wenn man diese Frage nach den verschiedenen Formen derabgeleiteten Funktionen sondert, ergeben sich die Fälle der alge-braischen und transcendenten Funktionen, von denen die Inte-