Siebentes Kapitel.

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grirung der letzteren noch wenig vorgeschritten ist. Die verschiedenenVerfahrungsweisen bei der Quadratur hängen mit keiner allge-meinen Ansicht über die Integration zusammen; sie bestehen nurin Rechnungsarten, die unter einander keinen Zusammenhang haben,lndess muss ich auf eines jener Kunststüeke aufmerksam machen,welches sich durch seine Allgemeinheit auszeichnet; es ist dies dasunter dem Namen der Integration nach Theilen bekannte Ver-fahren von Johann Bernouilli, wo jede Integration auf eineandere, die mitunter leichter zu erweisen ist, übergeführt werdenkann.

Die Integrirang der algebraischen Funktion ist weiter vorge-schritten, indess weiss man beinahe Nichts in Bezug auf die irra-tionalen Funktionen; nur die Integrirung der rationalen Funktionist vollständig, und sie bildet den Theil, welcher am meisten genügt,aber vielleicht der wenigst wichtige ist. Dieser nicht sehr häufigvorkommende Fall wird nur durch die Integrirung mittels derabstrakten Integrirung erledigt, weil die Lehre hei der Ausführungsehr oft durch die Unvollkommenheit der gewöhnlichen Rechnunggehindert wird, indem sie die Integrirung von der Auflösung alge-braischer Gleichungen abhängig macht und damit deren Benutzungsehr einschränkt.

Um in allgemeiner Weise das Wesen der verschiedenen Mittelzu erfassen, durch welche man zu den Quadraturen vorschreitet,so erhellt, dass sie nur auf die Differenzirung der zehn einfachenFunktionen gegründet werden können, deren Ergebnisse, umgekehrtaufgefasst, ebenso viele unmittelbare Lehrsätze ergeben, und dieseallein können direkt kennen gelernt werden. Die ganze Kunst derIntegrirung besteht darin, dass man versteht alle anderen Qua-draturen auf diese kleine Zahl von elementaren Quadraturen zurück-zuführen; leider wird dies noch am wenigsten gekannt.

Ich habe nun von den eigentümlichen Auflösungen derDifferenzial-Gleichungen zu sprechen; welche mitunter, wenn auchmit Unrecht, besondere Auflösungen genannt werden, von welchenLagrange eine so schöne Lehre aufgestellt hat. Clairaut, wel-cher sie zuerst bemerkte, sah darin einen Widerspruch innerhalbder Integralrechnung, weil sie für die Differenzialgleichungen ge-nügen und doch in den allgemeinen entsprechenden Integralen