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Siebentes Kapitel.

nicht enthalten sind. Lagrange gab liier die Erklärung, indem erzeigte, wie dergleichen Lösungen immer aus der Integrale sichdurch den Wegfall der willkürlichen beständigen Grossen ableiten.Er hat die sehr einfachen Verfahrungsweisen dargelegt, um dieeigentümliche Lösung jeder Differenzialgleichung zu finden,welche eben einer solchen fähig ist. Diese Verfahren bestehennur in Differenzirungen, sind immer anwendbar und verlangenkeine Integrirung. Die Differenzirung ist auf diese Weise einMittel geworden, um die Unvollkommenheit der Integralreclmungauszugleichen. Manche Aufgaben erfordern vor allem die Kenntnissdieser eigentümlichen Lösungen. Der Art sind in der Geo-metrie die Fragen, wo es sich um eine Bestimmung einer krummenLinie nach einer Eigentümlichkeit ihrer Tangente, oder ihres sieberührenden Kreises handelt. Die Mehrzahl der Geometer hat diegrosse Wichtigkeit dieser Lehre nicht genug erkannt.

Ich habe nun nur noch einer wichtigen Lehre zu gedenken,durch welche die Kenntniss der Kechnungs - Integralen, die meistunbekannt sind, durch die Bestimmung der begrenzten Inte-gralen ersetzt werden soll. Der immer mögliche Ausdruck derIntegralen durch unendliche Reihen hat vom algebraischen Ge-sichtspunkte aus nur einen mässigen Nutzen, aber er wird sehrwichtig, als Mittel die sogenannten begrenzten Reihen zu berech-nen, d. h. die Wertlie von Funktionen, die man für gewisse be-stimmte Werthe der correspondirenden veränderlichen Grössenbraucht. Dies Verfahren entspricht der zahlenmässigen Auflösungder Gleichungen in der gewöhnlichen Rechnung. Da man meistensdie allgemeine oder unbestimmte Integrale, d. h. die Funktion nichtermitteln kann, deren Differenzirung die beabsichtigte Differenzial-formel ergiebt, so suchten die Mathematiker wenigstens, ohne dasssie eine solche Funktion kannten, den Zahlenwerth zu bestimmen,welchen sie erhalten würde, wenn man den veränderlichen Grössenbestimmte Werthe unterlegte. Es ist dies die arithmetische Auf-lösung ohne vorgehende Auflösung der zugehörigen algebraischenAufgabe. Dieses Mittel ist ebenso unvollkommen, wie die zah-lenmässige Auflösung der Gleichungen; sie enthält, wie diese, einefehlerhafte Vermischung des arithmetischen und algebraischen Ge-sichtspunktes; allein es bleibt nnmer wichtig, diese unvollständige