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Achtes Kapitel.

Achtes Kapitel.

Allgemeine Betrachtungen über die Variations-Rechnung.

Die Fragen, welche die Bildung dieser Rechnungsart veran-lasst haben, bestehen in der Entwickelung der grössten undkleinsten Werthe einiger unbestimmten Integralt'ormeln, welchedas rechnungsmässige Gesetz einer bestimmten geometrischen That-sache ausdriicken, abgesehen von jedem speziellen Vorgänge. DieGeometer haben Fragen dieser Art lange Zeit mit dem Namender Aufgaben von Isoperimetern bezeichnet. In der gewöhn-lichen Lehre von den grössten und kleinsten Werthen sucht manden Punkt, wo die Funktion aufhört zuzunehmen, vielmehr abzu-nehmen beginnt, oder umgekehrt. Die Differenzialrechnung bietetdie Auflösung dieser Fragen, indem sie zeigt, dass die Werthe derverschiedenen veränderlichen Grössen, welche entweder gleichzeitigzunehmen oder abnehmen, immer die Differenzen auf Null bringenmüssen, welche aus der ersten Ordnung der gegebenen Funktionabgeleitet sind, wenn sie für sich in Bezug auf jede unabhängigeveränderliche Grösse genommen werden. Diese Rechnung zeigtüberdem eine eigenthümliche Beschaffenheit für die Unterscheidungdes grössten von dem kleinsten Werthe, welche bei einer Funktionmit einer einzigen veränderlichen Grösse z. B. darin besteht, dassdie abgeleitete Funktion zweiter Ordnung für den grössten Wertheine negative und für den kleinsten Werth eine positive Grösseannehmen muss.

Bei den isoperimetrischen Fragen kommt es auf die Entdeckungder Form der Funktion an, welche nach der Bestimmung desgrössten und des kleinsten Werths einer bestimmten Integrale blosangedeutet ist und von dieser Funktion abhängt. Bei den ältestenAufgaben dieser Art handelte es sich um einen Körper von demgeringsten Widerstande, welche Newton im zweiten Buche seiner„Prinzipien“ behandelt hatte. Johann Bernouilli stellte 1695die berühmte Aufgabe der kürzesten Zeit; sie soll die krummeLinie bestimmen, welche ein schwerer Körper durchlaufen muss,