Achtes Kapitel.

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um in der kürzesten Zeit von einem bestimmten Punkte zu einemandern zu gelangen. Bei einem Fallen durch den leeren Raumist diese krumme Linie eine umgekehrte Cycloide, welche, auf ho-rizontaler Grundlage, bei dem höchsten Punkte beginnt.

In der Geometrie hat man versucht, von allen krummen Li-nien des nämlichen Umfanges, welche zwischen zwei gegebenenPunkten gezogen werden, diejenige zu finden, deren Flächeninhaltein Grösstes oder Kleinstes ist, woher der Name von der Aufgabeder Isoperimeter stammt. Diese Aufgabe ist durch die Ber-nouilli’s, Taylor’s und Euler’s allmählich vermannigfaltigt wor-den. Bevor Lagrange die Lösung derselben auf eine abstrakteund allgemeine Methode zurückgebracht hatte, wollte man dieselbeauf die gewöhnliche Theorie des Grössten und Kleinsten zurück-führen, allein die angewandten Mittel bestanden in Kunststücken,die immer nur für den einzelnen Fall passten. Lagrange kambehufs Rückführung der Abhängigkeit dieser Aufgaben von einergemeinsamen Rechnung auf eine neue Art von Differenzirungenund gab ihnen den Namen der Variationen. Sie bestehen inden unendlich-kleinen Zunahmen, welche die Integralen enthalten;und zwar nicht vermöge der entsprechenden Zunahmen von Seitender entsprechenden veränderlichen Grössen, wie dies bei der trans-cendeilten Rechnung geschieht, sondern dadurch, dass man an-nimmt, dass die Form der Funktion, welche in der Gestalt einerIntegrirung gefasst ist, sich nur unendlich wenig verändert. DieseUnterscheidung begreift sich z. B. leicht bei krummen Linien, wodie Ordinate oder jede andere veränderliche Grösse der Curve zweieinander sehr verschiedene Arten von Differenzialen mit sich führt,je nachdem man von einem Punkte zu einem andern unendlich»ahen auf derselben Curve übergeht, oder zu dem entsprechendenFunkt der jener unendlich nahen Curve, welche durch eine be-stimmte Modifikation der ersten Curve entsteht.

Diese abstrakte Auffassung zweier verschiedenartigen Diffe-renzialen ist auf alle jene Fälle anwendbar, welche aus irgendeinem Grunde zwei verschiedene Weisen darbieten, in denen man'üeselben Grössen verändern kann. In dieser Weise hat Lagrangeeine sehr ausgedehnte Anwendung davon in seiner analytischenMechanik gemacht. Er benutzte sie zur Unterscheidung der beiden