Neuntes Kapitel.

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treten, wenn von Seiten der entsprechenden veränderlichen Grössenähnliche Zunahmen stattfinden. Diese Zunahmen der Differenzenkann man wieder als neue Funktionen nehmen und zum Ge wen-

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stand einer zweiten ähnlichen Betrachtung machen, und so fort.Es ergiebt sich daraus der Begriff von sich einander folgendenDifferenzen verschiedener Ordnung, und eine solche Rechnung führt,wie die der indirekten Funktionen, zu zwei Klassen von Aufgaben:

1) die einander folgenden Differenzen von allen den verschiedenenFunktionen mit einer oder mehreren veränderlichen Grössen zu be-stimmen, und zwar in Folge einer Weise bestimmter Zunahme derunabhängigen veränderlichen Grössen, von denen man annimmt,dass sie im Allgemeinen in arithmetischer Progression zunehmen;

2) umgekehrt von diesen Differenzen, oder allgemeine] - , von irgendwiezwischen denselben aufgestellten Gleichungen ausgehend, zu denursprünglichen Funktionen selbst, oder zu den ihnen entsprechen-den Verhältnissen zurückzukehren. Daher kommt die Trennungdieser Rechnung in zwei Arten, welchen die Namen: direkteRechnung der endlichen Differenzen und umgekehrteRechnung der endlichen Differenzen gegeben worden sind.

Taylor glaubte in dieser Weise eine allgemeinere Rechnungals die des Leibniz begründen zu können, indess sollen nachLagrange diese Eigenthiimlichkeiten viel mehr den von Taylorbenutzten Formen und Begriffen, als dem Grunde seiner Theorieselbst angehören. Allerdings beruht der Charakter der LeibnizischenRechnung darauf, dass die abgeleiteten Funktionen im Allgemeineneine andere Natur, als die ursprünglichen Funktionen haben; sieergeben dadurch möglichere Verhältnisse und eine leichtere Bil-dungsweise. Dies ist aber keineswegs mit den von Taylor behan-delten Differenzen der Fall; denn diese ähneln denen, aus welchensie abgeleitet wurden, und deshalb sind sie weniger zur Bildungv on Gleichungen oder allgemeineren Beziehungen geeignet. Auchkann diese Rechnungsart für geometrische und mechanische Fragen'ficht dieselbe Hülfe gewähren, wie die Rechnungsart von Leibniz.

Ueberhaupt war es falsch, dass man die Rechnung mit end-lichen Differenzen zu der transcendenten Rechnung gestellt hat;die von ihr in Betracht genommenen Gleichungen bleiben, trotz derBenennung, immer einfache direkte Gleichungen. Die Taylorische