Zehntes Kapitel.

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.sehen gleichartigen Grössen stattfinden. Die Vergleichung zweierOberflächen oder zweier Körper ist immer eine vermittelte, nurzwischen. Linien ist sie unvermittelt.

Der allgemeine Gegenstand der Geometrie ist, Vergleichungder Oberflächen und Körper auf einfache Vergleichung von Linienzuriiekzuführen. Auch hat man zwischen den geraden und krum-men Linien zu unterscheiden; und die Aufgabe bei der Geometrieder Linien ist, alle Fragen über die Grösse der krummen Linienauf einfache Fragen von geraden Linien zurückzuführen. Das letzteZiel der Geometrie besteht deshalb in der Zurückführung allerArten von Ausdehnung der Körper, der Oberflächen, der Linienauf eine einfache Vergleichung zwischen geraden Linien. Eine be-sondere Abtheilung der Geometrie bezieht sich auf die geradeLinie, wo es nicht möglich ist, die lineare Einheit unmittelbar aufsie zu legen; deshalb muss die Messung solcher Geraden von an-deren entsprechenden Messungen abhängig gemacht werden, dieunmittelbar ausführbar sind.

Die wissenschaftliche Eintheilung der Geometrie hat zunächstdie Linien zu betrachten und mit den geraden zu beginnen; siegeht dann zu den Oberflächen über und behandelt zuletzt dieKörper. Das Grundprinzip der rationellen Geometrie verlangt, alleGestaltungen in Betracht zu nehmen, welche in strenger Weisevorstellbar sind. Eine einfache Erwägung lässt indess einsehen,dass diese Gestalten eine unendliche Mannigfaltigkeit bieten.Fasst man die krummen Linien so auf, dass sie durch die Bewe-gung eines, einem bestimmten Gesetze folgenden Punktes erzeugtwerden, so erhält man so viele krumme Linien, als man verschie-dene Gesetze für diese Bewegung annimmt, und dies kann offenbarnach unendlich vielen verschiedenen Bedingungen geschehen. Wennich mich daher auch nur auf die krummen Linien in der Ebenebeschränke, so wird ein Punkt, der sich in gleicher Entfernung umeinen festen Punkt bewegt, einen Kreis erzeugen, und wenn dieSumme oder die Differenz seiner Entfernungen von zwei festenfunkten sich gleichbleibt, so wird die Beschriebene eine Ellipseoder Hyperbel sein; entfernt sich dagegen der Punkt immer gleich-luässig von einem festen Punkt und einer festen geraden Linie, sowird er eine Parabel beschreiben; wenn er, auf einem Kreis befindlich,