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Zehntes Kapitel.

auf diesem sich bewegt, während der Kreis gleichzeitig auf einer ge-radenLinie fortrollt, so erhält man eine Cycloide; bewegt der Punkt sichlängs einer geraden Linie, während diese, an einem ihrer Endpunkte be-festigt, sich auf irgend eine Weise herum dreht, so giebt dies Spirallinien,welche für sich so viele verschiedene krumme Linien darstellen,als man die Verhältnisse zwischen diesen beiden Bewegungen, dergeradlinigen Bewegung und der Drehung, verschieden annimmt.

Jede dieser krummen Linien kann dann zu neuen mittelsverschiedener Unterlagen fuhren, welche die entwickelten Curven,die Epicycloiden und die kaustischen Linien bilden. Noch vielgrösser ist dann die Mannigfaltigkeit hei den Curven von zwie-facher Krümmung.

Die Gestaltungen der Oberflächen sind noch mannigfaltiger,wenn man annimmt, dass sie durch die Bewegung von Linien er-zeugt werden; denn man kann nicht nur die Gesetze in einer un-zähligen Weise verändern, welche die Bewegung der erzeugendenLinie bestimmen, sondern man kann auch die Beschaffenheit dieserLinie verändern, während bei den krummen Linien etwas demAnaloges nicht besteht, da die sie beschreibenden Punkte keineverschiedene Gestaltung annehmen können. Deshalb können zweisehr verschiedene Arten von Bedingungen die Gestaltungen derFlächen verändern, während für die Linien nur eine besteht. Ichwill nicht Beispiele hierfür keibringen, es genügt schon die ausser-ordentliche Mannigfaltigkeit der sogenannten regulären Ober-flächen, d. h. derer, welche durch eine gerade Linie erzeugt wer-den, und welche die ganze Gattung der cylindrischen Oberflächen undder konischen befassen, also die allgemeinste Klasse von allen zu ent-wickelnden Oberflächen. Für die körperliche Ausdehnung ist keinebesondere Erwägung nöthig, da sie sich nur durch die Oberflächenunterscheiden, welche sie begrenzen. Die Oberflächen gewährenan sich ein Mittel, neue krumme Linien sich vorzustellen, weil jedeso betrachtet werden kann, als sei sie aus der Durchschneidungzweier Oberflächen entstanden. In dieser Weise sind die erstenvon den Geometern entdeckten Linien entstanden, nämlich dieEllipse, die Parabel und die Hyperbel; man kann sie als die Re-sultate der Durchschneidung eines Kegels mit kreisförmiger Grund-fläche mittels einer verschieden gerichteten Ebene ansehen. Un-