Zehntes Kapitel.

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mittelbar bietet uns die Natur die gerade Linie und den Kreis.Durch die Verbindung dieser verschiedenen Mittel kann man eineendlose Folge von unterschiedenen Gestaltungen erlangen, selbstwenn man dabei nur von einer sehr kleinen Zahl der aus derBeobachtung entnommenen Gestaltungen ausgeht. Diese verschie-denen Mittel haben seit dem Werke des Descartes keine Bedeutungmehr; denn seitdem läuft die Erfindung von Gestaltungen auf dieErfindung von Glaichungen hinaus; man braucht dann nur die ineine Gleichung eingeführten Funktionen willkürlich zu verändern.Dieses rechnungsmässige Vorgehen ist viel fruchtbarer, als die un-mittelbaren geometrischen Hülfsquelleu, selbst wenn man die üp-pigste Phantasie dabei benutzt. Dies zeigt, dass die verschiedenenOberflächen stärker vermehrt werden, als die Linien, weil die Linienrechnungsmässig durch Gleichungen mit nur zwei veränderlichenGrössen dargestellt werden, während bei den Oberflächen drei ver-änderliche Grössen eintreten können. Hieraus ergiebt sich die un-beschränkte Ausdehnung der drei Abtheilungen der Geometrie inBezug auf Linien, Oberflächen und Körper, als Resultat der schran-kenlosen Mannigfaltigkeit der zu messenden Körper.

Die Messung der Ausdehnungen ist das gemeinsame Ziel die-ser Wissenschaft, so sehr auch der grössere Theil der sie bilden-den Untersuchungen anscheinend eines andern Zieles wegen ge-schehen ist. Um dies Ziel zu erreichen, muss man die verschiedenenEigenschaften dieser Linie und jeder Oberfläche kennen, wie diefolgenden zwei Betrachtungen ergeben werden. Wenn man nurdie ursprünglichen Eigenschaften kennte, nach denen jede Linieund jede Oberfläche aufgefasst worden sind, so wäre deren Mes-sung unmöglich. So hätte Archimedes nie die Quadratur derParabel entdecken können, wenn er von ihr nur die Eigenschaftgekannt hätte, dass sie den Abschnitt eines Kegels bilde. Sodannist ein solches Studium unentbehrlich, wenn man das Verhältnis»des Abstrakten zum Konkreten in der Geometrie begründen will.Da die abstrakte Geometrie alle möglichen Gestalten betrachtenmuss, so erhellt, dass die Fragen in Bezug auf die von der Naturgegebenen Formen darin immer mit befasst sind. Muss man dannaber zur konkreten Geometrie übergehen, so zeigt sich die Schwie-rigkeit zu wissen, auf welche der verschiedenen abstrakten