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Zwölftes Kapitel.

Zwölftes Kapitel.

Die Fundaniental-Begriffe (1er allgemeinen oder analytischen

Geometrie.

Um durch Rechnungsweisen die geometrischen Gegenständeauszudrücken, bedarf man zunächst einer allgemeinen Weise dieLinien und Oberflächen, aus welchen diese Gegenstände bestehen,mittels der Rechnung darzustellen. Wenn auf diese Weise derGegenstand rechnungsmässig gefasst ist, so erhellt, dass auch dienebensächlichen Bestimmungen, deren er fällig ist, in gleicherWeise ausgedrückt werden können. Alle Vorstellungen in derGeometrie beziehen sich auf drei Kategorieen, auf die Grösse, dieGestalt und die Lage. Die erstere geht unmittelbar in die Zahlen-begriffe ein, die zweite kann immer auf die dritte Kategoriezurückgebracht werden, weil die Gestalt eines Körpers aus dergegenseitigen Stellung der Punkte, welche ihn zusainmensetzen,hervorgeht. Alle Schwierigkeit besteht also nur in der Zurück-führung der Lagen auf Grösssn. Descartes ’ philosophische Thätig-keit bestand in der Verallgemeinerung eines, dem menschlichenGeiste natürlichen elementaren Vorganges; das Mittel für die Be-zeichnung der Lage des Gegenstandes war nämlich, dass man sieauf andere bekannte Lagen zurückfülirte und zwar durch An-gabe der Grösse der geometrischen Elemente, durch welche siean letztere gebunden ist. Diese Elemente bilden das, was Des-cartes und nach ihm alle Geometer die Coordinaten jedes inBetracht gezogenen Punktes genannt haben. Sie sind ihrer zwei,wenn man im Voraus die Ebene kennt, in welcher der Punkt liegt,und sie werden ihrer drei, wenn der Punkt in jeder beliebigenGegend des Raumes liegen kann. Wie auch das angenommeneSystem beschaffen ist, so wird dabei immer die Lage auf einfacheGrössen im Vorstellen zurückgeführt sein. Die Lage eines Punktesin einer Ebene wird durch seine Entfernung von zwei geradenLinien bestimmt, welche Axen heissen und gewöhnlich rechtwinkligauf einander stehen. Dies ist das System rechtwinkliger Ordinaten.Der Punkt wird ferner bestimmt durch seinen Abstand von einem