Zwölftes Kapitel.
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dem allgemeinen Gang der Lösungen dieser Gleichung festhält.Diese figürliche Darstellung der Gleichungen hat auf die Vervoll-kommnung der Gleichungen zurückgewirkt, indem sie allgemeinerechnungsmässige Auffassungen andeutete, auf welche man schwer-lich in anderer Weise gekommen wäre, weil ein Mittel zur deut-lichen Charakterisirung ihres Gegenstandes fehlte. Dieses Ver-fahren ist ein elementares geworden, man wendet es immer da an,wo es sich um Erlangung des Gesetzes für eine Reihe von Beob-achtungen irgend welcher Art handelt.
Jede Modifikation in der Linie fiilirt zu einer entsprechendenVeränderung in der Gleichung, gleichviel ob jene Modifikation eineeinfache Ortsveränderung, oder eine Veränderung der Grösse oderder Gestalt enthält. Um den Vermischungen dieser Modifikationenzu entgehen, hat man eine Veränderung in der Lage der Axenauf irgend eine Weise sich ausgedacht, Mit Hülfe sein einfacherFormeln, durch welche man diese Umgestaltung ausführt, erkenntman leicht, ob zwei verschiedene Gleichungen nur rechnungsmässigeBezeichnungen derselben, hlos verschieden belegene Linien sind,oder ob sie sich auf geometrisch verschiedene Orte beziehen.
Nicht nur kann jede bestimmte Linie eine Gleichung zwischenden Coordinaten irgend eines ihrer Punkte gewähren, sondern eskann sogar jede Definition der Linie als eine Gleichung dieserLinie in einem entsprechenden System von Coordinaten angesehenwerden. Man muss, um diesen Grundsatz aufzustellen, zwei Artenvon Definitionen unterscheiden. Die Definition ist charakteristischwenn sie eine Eigenthi'unlichkeit anzeigt, welche trotz ihrer Aus-schliesslichkeit die Erzeugung des Gegenstandes nicht erkennen lässt ;sie ist dagegen eine erklärende, wenn sie den Gegenstand durcheine Eigenschaft bezeichnet, die eine der Entstehungsarten derselbenausdrückt. Als ein Beispiel dieser beiden Arten dient die Definitionvom Kreise, je nachdem man ihn als die Linie, welche durch ihreUmfassung die grösste Oberfläche einscldiesst, betrachtet, oder alsdie, welche die Eigenschaft hat, dass alle ihre Punkte von einemfesten Punkte gleich weit entfernt sind.
Das bisherige ist nur für erklärende Definitionen anwendbar.Die Definition des Kreises kann aller auch durch eine polareGleichung dieser Curve gewonnen werden, wenn deren Mittelpunkt