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Dreizehntes Kapitel.

indem man festhält, dass jeder in der Definition gegebene Punktderen zwei nöthig macht; ebenso jede gegebene gerade Linieebenfalls zwei; jede Länge eine, jeder Kreis drei u. s. w., und diesgilt ohne Einschränkung, da die rechnungsmiissige Umgestaltungder Definition gezeigt hat, dass die gegebenen Unterlagen wedereinzeln noch zusammen sich verändern können, ohne dass nichtdie krumme Linie eine Veränderung erleidet. Ist letzteres derFall, so hat man nur die obere Grenze der gesuchten Zahl er-langt, und letztere selbst kann nur mit Hülfe der allgemeinenGleichung erreicht werden.

Unter den Punkten, durch welche man eine Curve bestimmenwill, finden sich mitunter besondere Punkte, wie die Brennpunkte,die Gipfel, die Mittelpunkte, die Punkte der Umbeugung, der Um-kehrung. Wenn die Punkte in einer Curve bestimmt worden sind,bilden die Coordinaten von jedem derselben eine bestimmte Funk-tion der diese Curve bestimmenden Coordinaten. Wenn einerdieser Punkte gegeben wird, so werden damit den beständigenGrössen der Gleichung zwei algebraische Bedingungen auferlegt,und steht dies algebraisch zwei gegebenen gewöhnlichen Punktengleich. Jeder jener besonderen Punkte muss daher immer für zweigewöhnliche gelten. Aus dem hier angegebenen Verfahren erhellt,dass alle Parabeln, sowie die logarithmische Linie, die Cycloideund die Spirale des Archimedes, eine jede vier Punkte zu ihrerBestimmtheit erfordern.

Als ein zweites Beispiel möchte ich die Bestimmung derMittelpunkte bieten. Lässt man die Coordinaten vom Mittelpunktausgehen, so werden die einzelnen Punkte der Linie zu zweigleiche Coordinaten mit entgegengesetzten Zeichen, (+ und —),haben. Man kann daher aus der Gleichung einer Curve entneh-men, ob sie ihren Ursprung im Mittelpunkte hat; man braucht nurzu prüfen, ob diese Gleichung sich nicht verändert, wenn man dieZeichen der veränderlichen Grössen in ihr in die entgegengesetztenumwandelt. In Fällen, wo die Gleichung nur rationelle und ganzeFunktionen enthält, ist dann nur nöthig, dass alle Stücke derGleichung entweder von gleichem oder von ungleichem Gradeseien, je nach dem Grade der Gleichung. Stört dagegen eine Ver-änderung der Zeichen die Gleichung, so muss man deren Ursprung