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Dreizehntes Kapitel.

keine geradlinigen. Wenn die beiden Werthe nur in einer unbe-stimmten Form auftreten, so muss man die Rechnungs-Methodeanwenden, welche zur Abschätzung aller ähnlichen Ausdrücke dient.

Auch die Lehre von den besonderen Punkten kann man andie der Tangenten anknüpfen; so die von den Punkten der Ein-biegung, der mehrfachen Punkte, der Punkte der Umkehru. s. w. Für die Punkte der Einbiegung zeugt der Umstand, dass,wenn eine Einbiegung statt hat, die Neigung der Tangente diesesPunktes eine grösste oder kleinste sein wird, je nachdem essich um den Uebergang von der Convexität zur Concavität oderumgekehrt handelt. Man findet deshalb diese Punkte durch dieLehre von dem Grössten und Kleinsten. Für die Abscisse desEinbiegungspunktes muss die zweite von der Ordinate abgeleiteteFunktion gleich Null sein, und das genügt, um das Dasein unddie Lage dieses Punktes zu bestimmen.

Eine zweite durch die transcendente Rechnung auflösbare Aufgabeist das Maass der Krümmung mittels des Berührungskreiseszu bestimmen, dessen Entdeckung allein genügen wird, um den Na-men von Huyghens unsterblich zu machen. Da der Kreis alleindie Curve ist, deren Krümmung gleichmässig und um so grösserist, je kleiner der Halbmesser ist, so wird die Krümmung jederanderen Curve durch deren Vergleichung bei jedem ihrer Punktemit dem einzigen, sogenannten küssenden Kreis abgeschätzt,welcher mit der Curve die möglichst innige Berührung hat undwelcher von den blos berührenden Kreisen, deren Zahl fürdenselben Punkt der Curve eine unendliche ist, sich auszeichnet.Die Krümmung könnte auch mittels des Winkels zweier sich fol-genden Elemente gemessen werden, welcher Winkel des Zu-sammentreffens heisst; indess sind diese beiden Messungengleichwertig. Vom rechnungsmässigen Gesichtspunkte ergiebt derWerth des Halbmessers des küssenden Kreises den Werth desWinkels des Zusammentreffens, und es ist deshalb besser, wennman erst diesen Halbmesser ermittelt. Man betrachtet dabei denküssenden Kreis so, als wenn er durch drei einander unendlichnahe Punkte der Curve ginge. Der Mittelpunkt des küssendenKreises heisst der Mittelpunkt der Krümmung; es ist derPunkt, wo zwei unendlich nahe Normale sich schneiden. Aus der